Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
e)
e
e)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo-
, da região limitada por
e
no intervalo
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As curvas são
e . - O intervalo em
é . - O eixo de rotação é o eixo-
. - A região a ser girada é a região entre as duas curvas para os
desse intervalo (note que em as duas funções se igualam).
Passo 2
Vamos escolher uma técnica para calcular o volume: usar o método dos casquinhos cilíndricos (método das cascas) é mais direto quando giramos uma região limitada por curvas
em torno do eixo-
. Vou explicar o método de forma simples: ao girar um pequeno retângulo vertical em torno do eixo-
, ele gera um “casquinho” cilíndrico cuja contribuição de volume é aproximadamente
Aqui:
-
é a distância horizontal do retângulo ao eixo- , que é . -
é a diferença vertical entre as duas curvas naquela abscissa, isto é (se for a curva de cima). -
é .
Portanto o volume total será a integral
Passo 3
Precisamos confirmar qual curva está acima no intervalo
. Avaliando nos extremos:
Como em
temos
e as funções
e
são contínuas, concluímos que em todo o intervalo
vale
Logo a altura do casquinho é
.
Passo 4
Montando a integral pelo método das cascas, com
e
, obtemos
Vou agora calcular essa integral passo a passo. Dividimos em duas integrais:
Passo 5
Calcule
por partes. Regra de integração por partes: se tomarmos
e
, então
e
. Assim
Como
, temos
Passo 6
Agora calcule
também por partes. Tome
e
, então
e
. Logo
Como
, obtemos
Passo 7
Subtraindo as primitivas encontradas, uma antiderivada da função
é
Simplificando,
Assim
Passo 8
Avalie
nos limites.
Para
:
então
Para
:
então
e
, logo
Subtraindo,
Passo 9
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Faça a distribuição:
Podemos reorganizar factorando
se preferir: