Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
e) y=\operatorname{sen} x e y=\cos x, \pi / 4 \leq x \leq \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo- y, da região limitada por y=\sin x e y=\cos x no intervalo \pi/4 \le x \le \pi/2. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As curvas são y=\sin x e y=\cos x.
  • O intervalo em x é \left[\pi/4,\pi/2\right].
  • O eixo de rotação é o eixo- y.
  • A região a ser girada é a região entre as duas curvas para os x desse intervalo (note que em x=\pi/4 as duas funções se igualam).

Passo 2

Vamos escolher uma técnica para calcular o volume: usar o método dos casquinhos cilíndricos (método das cascas) é mais direto quando giramos uma região limitada por curvas y=f(x) em torno do eixo- y. Vou explicar o método de forma simples: ao girar um pequeno retângulo vertical em torno do eixo- y, ele gera um “casquinho” cilíndrico cuja contribuição de volume é aproximadamente
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot (\text{espessura}).
Aqui:
  • \text{raio} é a distância horizontal do retângulo ao eixo- y, que é x.
  • \text{altura} é a diferença vertical entre as duas curvas naquela abscissa, isto é \sin x - \cos x (se \sin x for a curva de cima).
  • \text{espessura} é dx.
Portanto o volume total será a integral
V = 2\pi \int_{a}^{b} x\big(\text{altura}(x)\big)\,dx.

Passo 3

Precisamos confirmar qual curva está acima no intervalo \left[\pi/4,\pi/2\right]. Avaliando nos extremos:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.
Como em \pi/2 temos \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1>\!0=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) e as funções \sin x e \cos x são contínuas, concluímos que em todo o intervalo \pi/4\le x\le\pi/2 vale
\sin x \ge \cos x.
Logo a altura do casquinho é \sin x - \cos x.

Passo 4

Montando a integral pelo método das cascas, com a=\pi/4 e b=\pi/2, obtemos
V = 2\pi \int_{\pi/4}^{\pi/2} x\big(\sin x - \cos x\big)\,dx.
Vou agora calcular essa integral passo a passo. Dividimos em duas integrais:
V = 2\pi\left(\int_{\pi/4}^{\pi/2} x\sin x\,dx \;-\; \int_{\pi/4}^{\pi/2} x\cos x\,dx\right).

Passo 5

Calcule \displaystyle \int x\sin x\,dx por partes. Regra de integração por partes: se tomarmos u=x e dv=\sin x\,dx, então du=dx e v=-\cos x. Assim
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
Como \displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x, temos
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 6

Agora calcule \displaystyle \int x\cos x\,dx também por partes. Tome u=x e dv=\cos x\,dx, então du=dx e v=\sin x. Logo
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx.
Como \displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x, obtemos
\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C.

Passo 7

Subtraindo as primitivas encontradas, uma antiderivada da função x(\sin x-\cos x) é
F(x) = \big(-x\cos x + \sin x\big) - \big(x\sin x + \cos x\big).
Simplificando,
F(x) = -x(\cos x + \sin x) + (\sin x - \cos x).
Assim
\int_{\pi/4}^{\pi/2} x(\sin x-\cos x)\,dx = F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) - F\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right).

Passo 8

Avalie F nos limites.
Para x=\tfrac{\pi}{2}:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,
então
F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -\tfrac{\pi}{2}\big(0+1\big) + (1-0) = -\tfrac{\pi}{2} + 1.
Para x=\tfrac{\pi}{4}:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
então \cos x+\sin x=\sqrt{2} e \sin x-\cos x=0, logo
F\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = -\tfrac{\pi}{4}\,\sqrt{2} + 0 = -\tfrac{\pi\sqrt{2}}{4}.
Subtraindo,
\int_{\pi/4}^{\pi/2} x(\sin x-\cos x)\,dx = \Big(-\tfrac{\pi}{2}+1\Big) - \Big(-\tfrac{\pi\sqrt{2}}{4}\Big) = -\tfrac{\pi}{2} + 1 + \tfrac{\pi\sqrt{2}}{4}.

Passo 9

Multiplicando pelo fator 2\pi que estava fora da integral:
V = 2\pi\left(-\tfrac{\pi}{2} + 1 + \tfrac{\pi\sqrt{2}}{4}\right).
Faça a distribuição:
V = 2\pi\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) + 2\pi\cdot 1 + 2\pi\left(\tfrac{\pi\sqrt{2}}{4}\right) = -\pi^{2} + 2\pi + \tfrac{\pi^{2}\sqrt{2}}{2}.
Podemos reorganizar factorando \pi^{2} se preferir:
V = 2\pi + \pi^{2}\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-1\right).

Resposta

V=2\pi+\pi^{2}\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1\right)

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