Exemplo 34. Fazendo-se girar em torno do eixo-
a região limitada pelos gráficos de
, e
e o eixo-
obtem-se um sólido. Ache o volume desse sólido.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo-
, a região do plano limitada por
,
,
e o eixo-
. Informações dadas e o que é pedido:
- Região limitada por
(ou ), pela reta vertical , pela reta vertical e pelo eixo- (ou seja, ). - O eixo de rotação é o eixo-
. - Pedido: o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Entendimento geométrico e escolha do método: ao girar uma região situada entre uma curva
e o eixo-
em torno do eixo-
, as seções transversais perpendiculares ao eixo-
são círculos. Cada seção em uma posição
tem raio igual à altura da curva sobre o eixo-
, ou seja,
. Esse método é chamado de método dos discos (ou dos anéis, se houver buraco). Aqui não há buraco porque a região vai de
até
, então usamos discos maciços. Vou explicar a fórmula básica que vamos usar.
Mini-aula: fórmula do método dos discos
- Considere um sólido gerado pela rotação da região entre
e , para variando de a , em torno do eixo- . - Em uma posição
fixa, a seção perpendicular ao eixo- é um círculo de raio . - A área dessa seção é
. - O volume do sólido é obtido integrando essas áreas ao longo de
de a :
- Aqui
é a variável de integração (posição ao longo do eixo- ), é a função que dá a altura/raio, e é a constante geométrica.
Exemplo rápido para fixar: se
(constante) e
a
, o sólido é um cilindro e
o que coincide com a fórmula do volume do cilindro.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
. - O intervalo de integração é
(dados pelas retas e ). - Então a área da seção em
é
- O volume é
Passo 4
Tirar o fator constante
para fora da integral e aplicar a regra de potência para integrais:
- Regra de potência (mini-aula): para
,
Aqui
, então
.
- Portanto
- Dividir por
é o mesmo que multiplicar por . Logo
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
- Primeiro calcule
. Use a propriedade das potências:
Como
, temos
.
- Também
. - Substituindo,
Passo 6
Colocar tudo junto e simplificar:
Esse é o volume do sólido, em unidades cúbicas (as unidades dependem das unidades usadas no enunciado).