Exemplo 34. Fazendo-se girar em torno do eixo- x a região limitada pelos gráficos de y=\sqrt[3]{x}, x=1, e x=8 e o eixo- x obtem-se um sólido. Ache o volume desse sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo- x, a região do plano limitada por y=\sqrt[3]{x}, x=1, x=8 e o eixo- x. Informações dadas e o que é pedido:
  • Região limitada por y=\sqrt[3]{x} (ou y=x^{1/3}), pela reta vertical x=1, pela reta vertical x=8 e pelo eixo- x (ou seja, y=0).
  • O eixo de rotação é o eixo- x.
  • Pedido: o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Entendimento geométrico e escolha do método: ao girar uma região situada entre uma curva y=f(x) e o eixo- x em torno do eixo- x, as seções transversais perpendiculares ao eixo- x são círculos. Cada seção em uma posição x tem raio igual à altura da curva sobre o eixo- x, ou seja, r(x)=y=f(x). Esse método é chamado de método dos discos (ou dos anéis, se houver buraco). Aqui não há buraco porque a região vai de y=0 até y=x^{1/3}, então usamos discos maciços. Vou explicar a fórmula básica que vamos usar.
Mini-aula: fórmula do método dos discos
  • Considere um sólido gerado pela rotação da região entre y=f(x) e y=0, para x variando de a a b, em torno do eixo- x.
  • Em uma posição x fixa, a seção perpendicular ao eixo- x é um círculo de raio r(x)=f(x).
  • A área dessa seção é \displaystyle A(x)=\pi\big(r(x)\big)^2=\pi\big(f(x)\big)^2.
  • O volume do sólido é obtido integrando essas áreas ao longo de x de a a b:
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx=\int_{a}^{b} \pi\big(f(x)\big)^2\,dx.
  • Aqui x é a variável de integração (posição ao longo do eixo- x), f(x) é a função que dá a altura/raio, e \pi é a constante geométrica.
Exemplo rápido para fixar: se f(x)=k (constante) e a a b, o sólido é um cilindro e
V=\int_{a}^{b}\pi k^2\,dx=\pi k^2 (b-a),
o que coincide com a fórmula do volume do cilindro.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui f(x)=x^{1/3}.
  • O intervalo de integração é x\in[1,8] (dados pelas retas x=1 e x=8).
  • Então a área da seção em x é
A(x)=\pi\big(x^{1/3}\big)^2=\pi x^{2/3}.
  • O volume é
V=\int_{1}^{8} \pi x^{2/3}\,dx.

Passo 4

Tirar o fator constante \pi para fora da integral e aplicar a regra de potência para integrais:
  • Regra de potência (mini-aula): para \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Aqui \alpha=\tfrac{2}{3}, então \alpha+1=\tfrac{5}{3}.
  • Portanto
V=\pi \int_{1}^{8} x^{2/3}\,dx =\pi\left[\frac{x^{5/3}}{5/3}\right]_{1}^{8}.
  • Dividir por 5/3 é o mesmo que multiplicar por 3/5. Logo
V=\pi\cdot\frac{3}{5}\left[x^{5/3}\right]_{1}^{8}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites 1 e 8:
  • Primeiro calcule 8^{5/3}. Use a propriedade das potências:
8^{5/3}=\big(8^{1/3}\big)^{5}.
Como 8^{1/3}=2, temos \big(8^{1/3}\big)^{5}=2^{5}=32.
  • Também 1^{5/3}=1.
  • Substituindo,
\left[x^{5/3}\right]_{1}^{8}=8^{5/3}-1^{5/3}=32-1=31.

Passo 6

Colocar tudo junto e simplificar:
V=\pi\cdot\frac{3}{5}\cdot 31=\frac{3\cdot 31}{5}\pi=\frac{93\pi}{5}.
Esse é o volume do sólido, em unidades cúbicas (as unidades dependem das unidades usadas no enunciado).

Resposta

\displaystyle \frac{93\pi}{5}

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