Exercício 17 Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de \mathbb{R}^{3} ?
D=\{(x, y, z) \mid x=z=0\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=0,\;z=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso vamos usar os três critérios de subespaço vetorial:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) está em D. Como em (0,0,0) temos x=0 e z=0, segue que
(0,0,0)\in D.

Passo 3

Agora checamos a soma. Tomemos u=(0,y_1,0)\in D e v=(0,y_2,0)\in D. Então
u+v = (0,y_1,0) + (0,y_2,0) = (0,\,y_1+y_2,\,0),
e novamente a primeira e a terceira componentes são zero. Logo u+v\in D.

Passo 4

Por fim, vemos a multiplicação por escalar. Seja t\in\mathbb{R} e u=(0,y,0)\in D. Então
t\,u = t\,(0,y,0) = (0,\,t\,y,\,0),
que ainda satisfaz x=0 e z=0. Assim t\,u\in D.

Passo 5

Como D contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que D é de fato um subespaço de \mathbb{R}^3. Geometricamente, D é o eixo dos y.

Resposta

D é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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