Exercício 17 Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de
. Para isso vamos usar os três critérios de subespaço vetorial:
- conter o vetor zero;
- ser fechado sob soma;
- ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo
está em
. Como em
temos
e
, segue que
Passo 3
Agora checamos a soma. Tomemos
e
. Então
e novamente a primeira e a terceira componentes são zero. Logo
.
Passo 4
Por fim, vemos a multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
que ainda satisfaz
e
. Assim
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
. Geometricamente,
é o eixo dos
.