Exercício 18: O número de chegadas a um posto de informações turísticas é modelado por poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade de ocorrer:
a) Pelo menos uma chegada?
b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas?
a) Pelo menos uma chegada?
b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.\n
Temos que o número de chegadas em um posto de informações turísticas, em uma hora, é modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson e taxa
(ou seja, em média chegam
pessoas por hora).\n
Perguntas:\n
(a) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos uma chegada em uma hora? — isto é calcular .\n
(b) Qual a probabilidade de ocorrer mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de cinco pessoas? — isto é calcular .\n
Temos que o número de chegadas em um posto de informações turísticas, em uma hora, é modelado por uma variável aleatória
Perguntas:\n
(a) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos uma chegada em uma hora? — isto é calcular
(b) Qual a probabilidade de ocorrer mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de cinco pessoas? — isto é calcular
Passo 2
Fórmula e conceitos úteis (aula rápida sobre Poisson e probabilidades condicionais).\n
A distribuição de Poisson com parâmetro tem função massa de probabilidade dada por
A distribuição de Poisson com parâmetro
para
. Aqui
é a média (e também a variância) da distribuição; no nosso caso
.\n
Para probabilidades condicionais usamos a fórmula
Para probabilidades condicionais usamos a fórmula
sempre que
. No item (b) vamos aplicar essa fórmula com
e
. Lembre-se que
é inteiro, então
e
. Logo
.
Passo 3
Resolvendo (a): usar o complementar para facilitar.\n
“Pelo menos uma chegada” é . É muito mais fácil calcular o complementar
e fazer
“Pelo menos uma chegada” é
Pela fórmula do Poisson com
,
Portanto
Como aproximação numérica,
, então
Passo 4
Preparando (b): expressar a probabilidade condicional em termos das probabilidades pontuais.\n
Queremos
Queremos
Usaremos a fórmula de Poisson para cada termo e depois simplificamos.
Passo 5
Calcular o numerador
.\n
Usando obtemos
Usando
Somando:
Passo 6
Calcular o denominador
e finalizar a razão.\n
Cada termo tem o fator comum , então
Cada termo tem o fator comum
Calculemos os termos da soma interna:
Somando:
Logo o denominador é
. Substituindo na condicional:
Como aproximação decimal,
.
Passo 7
Interpretação final rápida e dica para a prova.\n
(a) usar o complementar ( ) é uma técnica padrão e salva tempo.\n
(b) ao calcular condicionais com Poisson é comum fatorar — ele costuma cancelar — então some apenas os coeficientes racionais
. Isso evita cálculos desnecessários com exponenciais.
(a) usar o complementar (
(b) ao calcular condicionais com Poisson é comum fatorar
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)