Exercício 18: O número de chegadas a um posto de informações turísticas é modelado por poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade de ocorrer:
a) Pelo menos uma chegada?
b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.\n
Temos que o número de chegadas em um posto de informações turísticas, em uma hora, é modelado por uma variável aleatória X com distribuição de Poisson e taxa \lambda = 2 (ou seja, em média chegam 2 pessoas por hora).\n
Perguntas:\n
(a) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos uma chegada em uma hora? — isto é calcular P(X\ge 1).\n
(b) Qual a probabilidade de ocorrer mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de cinco pessoas? — isto é calcular P(X>2 \mid X<5).\n

Passo 2

Fórmula e conceitos úteis (aula rápida sobre Poisson e probabilidades condicionais).\n
A distribuição de Poisson com parâmetro \lambda tem função massa de probabilidade dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
para k=0,1,2,\dots. Aqui \lambda é a média (e também a variância) da distribuição; no nosso caso \lambda=2.\n
Para probabilidades condicionais usamos a fórmula
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
sempre que P(B)>0. No item (b) vamos aplicar essa fórmula com A=\{X>2\} e B=\{X<5\}. Lembre-se que X é inteiro, então \{X>2\}=\{3,4,5,\dots\} e \{X<5\}=\{0,1,2,3,4\}. Logo A\cap B=\{3,4\}.

Passo 3

Resolvendo (a): usar o complementar para facilitar.\n
“Pelo menos uma chegada” é P(X\ge 1). É muito mais fácil calcular o complementar P(X=0) e fazer
P(X\ge 1)=1-P(X=0).
Pela fórmula do Poisson com \lambda=2,
P(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}.
Portanto
P(X\ge 1)=1-e^{-2}.
Como aproximação numérica, e^{-2}\approx 0{,}135335283, então
P(X\ge 1)\approx 1-0{,}135335283=0{,}864664717.

Passo 4

Preparando (b): expressar a probabilidade condicional em termos das probabilidades pontuais.\n
Queremos
P(X>2\mid X<5)=\frac{P(X\in\{3,4\})}{P(X\in\{0,1,2,3,4\})} =\frac{P(X=3)+P(X=4)}{\sum_{k=0}^{4}P(X=k)}.
Usaremos a fórmula de Poisson para cada termo e depois simplificamos.

Passo 5

Calcular o numerador P(X=3)+P(X=4).\n
Usando P(X=k)=e^{-2}\dfrac{2^{k}}{k!} obtemos
P(X=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=e^{-2}\frac{8}{6}=e^{-2}\cdot\frac{4}{3},
P(X=4)=e^{-2}\frac{2^{4}}{4!}=e^{-2}\frac{16}{24}=e^{-2}\cdot\frac{2}{3}.
Somando:
P(X=3)+P(X=4)=e^{-2}\left(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\right)=e^{-2}\cdot 2.

Passo 6

Calcular o denominador \sum_{k=0}^{4}P(X=k) e finalizar a razão.\n
Cada termo tem o fator comum e^{-2}, então
\sum_{k=0}^{4}P(X=k)=e^{-2}\sum_{k=0}^{4}\frac{2^{k}}{k!}.
Calculemos os termos da soma interna:
\frac{2^{0}}{0!}=1,\quad \frac{2^{1}}{1!}=2,\quad \frac{2^{2}}{2!}=2,\quad \frac{2^{3}}{3!}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},\quad \frac{2^{4}}{4!}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.
Somando:
\sum_{k=0}^{4}\frac{2^{k}}{k!}=1+2+2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=1+2+2+ \frac{6}{3}=5+2=7.
Logo o denominador é e^{-2}\cdot 7. Substituindo na condicional:
P(X>2\mid X<5)=\frac{e^{-2}\cdot 2}{e^{-2}\cdot 7}=\frac{2}{7}.
Como aproximação decimal, \dfrac{2}{7}\approx 0{,}285714.

Passo 7

Interpretação final rápida e dica para a prova.\n
(a) usar o complementar ( 1-P(0)) é uma técnica padrão e salva tempo.\n
(b) ao calcular condicionais com Poisson é comum fatorar e^{-\lambda} — ele costuma cancelar — então some apenas os coeficientes racionais \dfrac{\lambda^{k}}{k!}. Isso evita cálculos desnecessários com exponenciais.

Resposta

(a) 1-e^{-2}\approx 0{,}8646647\n
(b) \dfrac{2}{7}\approx 0{,}285714

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