Exercício 1.16 - Uma embreagem de discos múltiplos é equipada com quatro discos internos e cinco discos externos. O raio externo do material de fricção é de 170 mm , com um raio interno de 85 mm . Calcule a força necessária para pressionar os discos a fim do sistema transmitir 35 kW de potência a uma frequência rotacional de 1670 rpm. Assuma a teoria da pressão uniforme e coeficiente de atrito de 0,4 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular a força axial necessária para apertar uma embreagem de discos múltiplos de modo que o sistema transmita 35\\ \mathrm{kW} a 1670\\ \mathrm{rpm}, assumindo pressão uniforme e coeficiente de atrito \mu=0{,}4. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &P = 35\\ \mathrm{kW},\\\ &n = 1670\\ \mathrm{rpm},\\\ &\text{discos internos} = 4,\quad \text{discos externos} = 5,\\\ &r_o = 170\\ \mathrm{mm},\\\ &r_i = 85\\ \mathrm{mm},\\\ &\mu = 0{,}4. \end{aligned}
Pergunta explícita: encontrar a força axial F necessária (em newtons). Não se pede mais nada além dessa força.

Passo 2

Converter unidades e calcular o torque requerido a partir da potência e da velocidade. Vou explicar a fórmula usada: a potência P transmitida por um eixo que gira com n revoluções por segundo (rps) e torque T é dada por
P = 2\pi n T,
onde P está em watts, n em \mathrm{s^{-1}} (rps) e T em \mathrm{N\cdot m}. Aqui o n do enunciado está em rpm, então convertemos:
n = \frac{1670}{60} = 27{,}8333\\ \mathrm{s^{-1}}.
Isolando T:
T = \frac{P}{2\pi n}.
Substituindo P = 35000\\ \mathrm{W} e n = 27{,}8333\\ \mathrm{s^{-1}},
T \approx \frac{35000}{2\pi\cdot 27{,}8333} \approx 200{,}18\\ \mathrm{N\cdot m}.
Explicação curta: esse T é o torque total que a embreagem precisa resistir/transmitir.

Passo 3

Apresentar a teoria da pressão uniforme e a expressão do torque por superfície de atrito.
Teoria: na hipótese de pressão uniforme a pressão normal p é constante sobre a área do anel de fricção entre r_i e r_o. Considere um elemento circular de raio r e largura infinitesimal dr. A área desse anel elemental é dA = 2\pi r\,dr. A força normal sobre esse anel é dF_N = p\,dA = p\,2\pi r\,dr. A força de atrito tangencial nesse anel é dF_t = \mu\,dF_N = \mu p\,2\pi r\,dr. O momento (torque) produzido por esse anel em relação ao eixo é dT = dF_t \cdot r = \mu p\,2\pi r^2\,dr. Integrando de r_i até r_o obtemos o torque de uma superfície de contato:
T_{\text{superf}}=\int_{r_i}^{r_o} \mu p\,2\pi r^2\,dr = \mu p\,2\pi\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r_i}^{r_o} = \frac{2\pi\mu p}{3}\left(r_o^3-r_i^3\right).
Aqui:
  • p é a pressão uniforme (Pa),
  • \mu é o coeficiente de atrito,
  • r_i,r_o são raios interno e externo (m).

Passo 4

Determinar o número de superfícies de atrito envolvidas na transmissão.
Os discos estão alternados: externo, interno, externo, …, terminando em externo (5 externos e 4 internos). Cada interface entre discos adjacentes é uma superfície de atrito. O número de interfaces é
N_s = (\text{nº discos totais}) - 1 = (5+4)-1 = 8.º
Portanto há N_s=8 superfícies de atrito idênticas contribuindo para o torque total. Observação importante (que vou usar em seguida): tanto o torque total quanto a força axial total são proporcionais a N_s, e por isso, como veremos, N_s vai se cancelar se eliminarmos a pressão p.

Passo 5

Relacionar o torque total T e a força axial F via a pressão p, e eliminar p para obter F.
Torque total fornecido pelas N_s superfícies:
T = N_s \cdot T_{\text{superf}} = N_s \cdot \frac{2\pi\mu p}{3}\left(r_o^3-r_i^3\right).
A força axial F aplicada na embreagem (força de aperto) é a soma das forças normais em todas as superfícies; cada superfície tem área A_{\text{anel}}=\pi(r_o^2-r_i^2), então a força normal total é
F = p\cdot N_s \cdot A_{\text{anel}} = p\cdot N_s \cdot \pi\left(r_o^2-r_i^2\right).
Isolamos p pela equação do torque e substituímos em F. Primeiro
p = \frac{3T}{N_s\cdot 2\pi\mu\left(r_o^3-r_i^3\right)}.
Substituindo em F:
F = \frac{3T}{N_s\cdot 2\pi\mu\left(r_o^3-r_i^3\right)}\cdot N_s\cdot\pi\left(r_o^2-r_i^2\right).
Note que N_s e um fator \pi cancelam, ficando a forma simplificada (essa é uma fórmula muito útil — mostra que, sob pressão uniforme, a força axial necessária não depende de N_s):
F = \frac{3T\left(r_o^2-r_i^2\right)}{2\mu\left(r_o^3-r_i^3\right)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • F: força axial total procurada (N),
  • T: torque total requerido (N·m),
  • \mu: coeficiente de atrito (adimensional),
  • r_i,r_o: raios interno e externo (m).

Passo 6

Substituir valores numéricos (com conversão mm \to m) e calcular F. Converter:
r_o = 170\\ \mathrm{mm} = 0{,}170\\ \mathrm{m},\qquad r_i = 85\\ \mathrm{mm} = 0{,}085\\ \mathrm{m}.
Já tínhamos T \approx 200{,}18\\ \mathrm{N\cdot m} e \mu=0{,}4. Calcular os termos:
r_o^2-r_i^2 = 0{,}170^2 - 0{,}085^2 = 0{,}028900 - 0{,}007225 = 0{,}021675\\ \mathrm{m^2},
r_o^3-r_i^3 = 0{,}170^3 - 0{,}085^3 = 0{,}004913 - 0{,}000614125 = 0{,}004298875\\ \mathrm{m^3}.
Agora aplicar a fórmula:
F = \frac{3\cdot 200{,}18\cdot 0{,}021675}{2\cdot 0{,}4\cdot 0{,}004298875}.
Calcule passo a passo:
\text{numerador} = 3\cdot 200{,}18\cdot 0{,}021675 \approx 13{,}0164,
\text{denominador} = 2\cdot 0{,}4\cdot 0{,}004298875 = 0{,}0034391,
F \approx \frac{13{,}0164}{0{,}0034391} \approx 3786{,}8\\ \mathrm{N}.
Como checagem rápida, podemos calcular a pressão p usando p=F/(N_s\pi(r_o^2-r_i^2)) e verificar o torque: esse procedimento confirma consistência e dá p\approx 6{,}95\times 10^3\\ \mathrm{Pa} (ou 6{,}95\\ \mathrm{kPa}). Tudo coerente.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento: a força axial necessária é de aproximadamente 3{,}79\\ \text{kN}. Isso significa que um cilindro (ou mecanismo de aperto) deve aplicar cerca de 3{,}79 quilonewtons para que a embreagem transmita 35\\ \mathrm{kW} a 1670\\ \mathrm{rpm} nas condições dadas.

Resposta

F \approx 3{,}79\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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