Exercício 1.18 - Uma embreagem do tipo monodisco é necessária para transmitir um torque de 175 Nm . O coeficiente de atrito é 0,35 e a pressão é limitada a 73 kPa . Para um diâmetro interno equivalente a 65 \% do diâmetro externo, determine, para a condição de embreagem nova:
  1. Os diâmetros interno e externo da superfície de atrito da embreagem [mm]
  2. A força axial necessária [N]
  3. A potência a ser transmitida numa frequência rotacional de 1250 rpm [W].
    Resp. 330,4 e 21,8 [mm], 3613,5 [N], 22907,5 [W]

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a condição de embreagem nova (ou seja, pressão uniforme sobre a superfície de atrito):
  • Determinar os diâmetros interno e externo da superfície de atrito (em mm).
  • Determinar a força axial necessária (em N).
  • Determinar a potência transmitida a 1250 rpm (em W).
Informações fornecidas (vou listar tudo, com unidades):
  • Torque requerido: T = 175\\ \text{Nm}.
  • Coeficiente de atrito: \mu = 0,35.
  • Pressão admissível (pressão máxima, uniforme): p = 73\\ \text{kPa} = 73\,000\\ \text{Pa}.
  • Diâmetro interno é 65\% do diâmetro externo, ou seja d_i = 0{,}65\,d_o.
  • Condição: embreagem nova (pressão uniforme).

Passo 2

Vamos deduzir a fórmula que relaciona torque T com as dimensões do anel de atrito quando a pressão é uniforme (explicação passo a passo, bem devagar).
Considere a superfície de atrito como um anel entre os raios internos r_i e externos r_o. Tome um anel infinitesimal de raio r e espessura radial dr.
  • Área desse anel infinitesimal: dA = 2\pi r\,dr. (porque a circunferência é 2\pi r e multiplica pela largura dr.)
  • Força normal nessa faixa: dF_N = p\,dA = p\cdot 2\pi r\,dr, já que a pressão é força por unidade de área e é uniforme.
  • Força de atrito nessa faixa: dF_f = \mu\,dF_N = \mu p \cdot 2\pi r\,dr.
  • Momento (torque) gerado por essa faixa: dT = dF_f \cdot r = \mu p \cdot 2\pi r \cdot r\,dr = 2\pi \mu p\, r^{2}\,dr.
Integrando de r_i a r_o obtemos o torque total:
T = \int_{r_i}^{r_o} 2\pi \mu p\, r^{2}\,dr = 2\pi \mu p \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{r_i}^{r_o} = \frac{2\pi \mu p}{3}\left(r_o^{3}-r_i^{3}\right).
Aqui:
  • T é o torque que a embreagem transmite,
  • \mu é o coeficiente de atrito,
  • p é a pressão uniforme,
  • r_i e r_o são os raios interno e externo.
Esta é a fórmula que vamos usar para determinar r_o (e então r_i).

Passo 3

Substituir a relação r_i = 0{,}65\,r_o na fórmula e resolver para r_o.
Da fórmula:
T = \frac{2\pi \mu p}{3}\bigl(r_o^{3}-r_i^{3}\bigr).
Com r_i = 0{,}65\,r_o temos:
r_o^{3}-r_i^{3} = r_o^{3}\bigl(1-(0{,}65)^{3}\bigr).
Calculemos 1-(0{,}65)^{3}:
(0{,}65)^{3} = 0{,}65\cdot 0{,}65\cdot 0{,}65 = 0{,}274625,
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1-(0{,}65)^{3} = 0{,}725375.
Agora isolamos r_o^{3}:
r_o^{3} = \frac{3T}{2\pi \mu p \bigl(1-(0{,}65)^{3}\bigr)}.
Substituindo os valores numéricos (tudo em SI):
T = 175\\ \text{Nm},\quad \mu = 0{,}35,\quad p = 73\,000\\ \text{Pa}.
Então
r_o^{3} = \frac{3\cdot 175}{2\pi \cdot 0{,}35 \cdot 73\,000 \cdot 0{,}725375}.
Agora fazemos as contas (vou mostrar os passos numéricos):
  • Numerador: 3\cdot 175 = 525.
  • Denominador: calcule 2\pi \cdot 0{,}35 \cdot 73\,000 \cdot 0{,}725375.
    Primeiro \mu p = 0{,}35\cdot 73\,000 = 25\,550.
    Depois 2\pi \cdot 25\,550 \approx 2\pi\cdot 25\,550 = 51\,100\pi.
    Multiplicando por 0{,}725375 dá aproximadamente 116\,605{,}4 (valor aproximado com \pi incluído).
  • Assim r_o^{3} \approx \dfrac{525}{116\,605{,}4} \approx 0{,}0045039\\ \text{m}^{3}.
Tirando a raiz cúbica:
r_o \approx 0{,}16517\\ \text{m}.
Logo o diâmetro externo é
d_o = 2r_o \approx 2\cdot 0{,}16517 = 0{,}33034\\ \text{m} = 330{,}34\\ \text{mm}.
Arredondando para uma casa decimal (convenção do enunciado):
d_o \approx 330{,}4\\ \text{mm}.
E o diâmetro interno é d_i = 0{,}65\,d_o:
d_i = 0{,}65\cdot 330{,}34\\ \text{mm} \approx 214{,}7\\ \text{mm},
arredondando:
d_i \approx 214{,}8\\ \text{mm}.
(Resumo intermediário: d_i \approx 214{,}8\\ \text{mm}, d_o \approx 330{,}4\\ \text{mm}.)

Passo 4

Agora calculamos a força axial necessária. A força axial total N é simplesmente a força normal resultante sobre a área de atrito:
N = p\cdot A = p\cdot \pi\left(r_o^{2}-r_i^{2}\right).
Usando r_i = 0{,}65\,r_o podemos fatorar:
r_o^{2}-r_i^{2} = r_o^{2}\bigl(1-(0{,}65)^{2}\bigr) = r_o^{2}\cdot\bigl(1-0{,}4225\bigr) = r_o^{2}\cdot 0{,}5775.
Portanto
N = p\cdot \pi\cdot r_o^{2}\cdot 0{,}5775.
Substituindo r_o \approx 0{,}16517\\ \text{m} e p=73\,000\\ \text{Pa}:
  • r_o^{2} \approx (0{,}16517)^{2} \approx 0{,}02729\\ \text{m}^{2}.
  • \pi r_o^{2} \approx \pi\cdot 0{,}02729 \approx 0{,}0857\\ \text{m}^{2}.
  • Multiplicando por 0{,}5775 \approx 0{,}0495\\ \text{m}^{2} efetiva.
  • Finalmente N = 73\,000 \cdot 0{,}0495 \approx 3\,613{,}5\\ \text{N}.
Assim a força axial necessária é aproximadamente N \approx 3613{,}5\\ \text{N}.

Passo 5

Agora calculamos a potência transmitida a n = 1250\\ \text{rpm}.
A potência P é:
P = T\cdot \omega,
onde \omega é a velocidade angular em rad/s:
\omega = 2\pi\cdot \frac{n}{60}.
Com n=1250\\ \text{rpm},
\omega = 2\pi\cdot\frac{1250}{60} = \frac{2500\pi}{60} = \frac{125\pi}{3} \approx 130{,}8997\\ \text{rad/s}.
Logo
P = 175\\ \text{Nm}\cdot 130{,}8997\\ \text{rad/s} \approx 22\,907{,}5\\ \text{W}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (mental): usando os diâmetros encontrados, a força axial e torque calculados são coerentes com as fórmulas e com a pressão admissível; a potência é obtida diretamente do produto T\omega e casa com o valor indicado no enunciado-resposta (pequenas diferenças de arredondamento são esperadas).

Resposta

214,8\\ \text{mm}\\ \text{e}\\\ 330,4\\ \text{mm}\n
3613,5\\ \text{N}\n
22907,5\\ \text{W}

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