Exercício 1.19 - Uma pinça de freio é necessária para as rodas dianteiras de um carro esporte com capacidade de frenagem de 1120 Nm para cada freio. As estimativas preliminares do projeto definiram a geometria do freio com raio interno de 100 mm , raio externo de 160 mm e \theta=45^{\circ}. Uma guarnição com coeficiente de atrito de 0,35 foi selecionado. Determine, segundo o critério da pressão uniforme, a força de acionamento
necessária e a pressão de contato máxima atuante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a força de acionamento necessária e a pressão de contato máxima, adotando o critério da pressão uniforme. Dados fornecidos (todos listados explicitamente):
  • Torque de frenagem requerido por freio: T=1120\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Raio interno da área de contato: r_i=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo da área de contato: r_o=160\\ \mathrm{mm}=0,160\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo de contato: \theta=45^\circ.
  • Coeficiente de atrito entre guarnição e disco: \mu=0{,}35.
O que temos que determinar:
  1. A força de acionamento necessária (isto é, a resultante normal total que o atuador precisa aplicar sobre a guarnição), segundo a hipótese de pressão uniforme.
  2. A pressão de contato máxima atuante (sob a hipótese de pressão uniforme, isto será o próprio valor constante da pressão).

Passo 2

Vamos explicar a teoria e deduzir as fórmulas passo a passo (tudo bem mastigado).
  1. Modelo e coordenadas:
  • Trabalhamos em coordenadas polares sobre a região anelar do disco ocupada pela guarnição. Um elemento de área é dA=r\,dr\,d\varphi, com r entre r_i e r_o e \varphi entre 0 e \theta (em radianos).
  1. Pressão uniforme:
  • Pressão de contato sobre a superfície da guarnição: p (constante, por hipótese).
  • A tensão de atrito (força tangencial por área) em cada ponto é \tau=\mu p (lei de Coulomb, coeficiente \mu multiplicando a pressão normal).
  1. Torque gerado pela guarnição:
  • Um elemento de área dA produz uma força tangencial dF_t=\tau\,dA=\mu p\,dA.
  • O torque produzido por esse elemento em relação ao centro é dT = r\,dF_t = r(\mu p\,dA).
  • Substituindo dA=r\,dr\,d\varphi:
dT = \mu p\, r\,(r\,dr\,d\varphi)=\mu p\, r^{2}\,dr\,d\varphi.
  • Integramos sobre \varphi\in[0,\theta] e r\in[r_i,r_o]:
T=\int_{0}^{\theta}\int_{r_i}^{r_o} \mu p\, r^{2}\,dr\,d\varphi =\mu p\,\theta\int_{r_i}^{r_o} r^{2}\,dr =\mu p\,\theta\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{r_i}^{r_o}.
Portanto, fórmula útil:
\boxed{T=\mu\,p\,\theta\,\frac{r_o^{3}-r_i^{3}}{3}.}
Nessa fórmula:
  • T é o torque de frenagem exigido (N·m),
  • \mu é o coeficiente de atrito (adimensional),
  • p é a pressão uniforme (Pa),
  • \theta é o ângulo de contato em radianos,
  • r_o,r_i em metros.
  1. Área da região de contato:
  • A área de um setor anular de ângulo \theta é
A=\int_{0}^{\theta}\int_{r_i}^{r_o} r\,dr\,d\varphi =\theta\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{r_i}^{r_o} =\frac{\theta}{2}\,(r_o^{2}-r_i^{2}).
  1. Força de acionamento necessária:
  • A força normal total que o atuador precisa produzir (a “força de acionamento”) é a integral da pressão sobre a área, isto é
N=p\,A = p\,\frac{\theta}{2}\,(r_o^{2}-r_i^{2}).
  1. Pressão máxima:
  • Sob o critério de pressão uniforme a pressão máxima é simplesmente p (constante).
Resumo das fórmulas que vamos usar para calcular numericamente:
p=\frac{3T}{\mu\,\theta\,(r_o^{3}-r_i^{3})}, \qquad N=p\,\frac{\theta}{2}\,(r_o^{2}-r_i^{2}).

Passo 3

Convertemos os dados e substituímos na fórmula de p.
  1. Converter \theta para radianos:
\theta=45^\circ=\frac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad}.
  1. Valores numéricos:
T=1120\\ \mathrm{N\cdot m},\quad \mu=0{,}35,\quad r_i=0{,}100\\ \mathrm{m},\quad r_o=0{,}160\\ \mathrm{m},\quad \theta=\frac{\pi}{4}.
  1. Calcular r_o^{3}-r_i^{3}:
r_o^{3}-r_i^{3}=0{,}160^{3}-0{,}100^{3}=0{,}004096-0{,}001000=0{,}003096\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Substituir em p=\dfrac{3T}{\mu\theta(r_o^{3}-r_i^{3})}:
p=\frac{3\cdot 1120}{0{,}35\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}003096}.
Agora fazemos as contas em partes:
  • Produto no denominador:
0{,}35\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}003096 \approx 0{,}00085105745\\ \mathrm{(sem\\ unidade)}.
  • Numerador:
3\cdot1120=3360.
  • Então
p\approx\frac{3360}{0{,}00085105745}\approx 3\,949\,678\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
p\approx 3{,}95\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular a força de acionamento N usando N=pA.
  1. Área do setor anular:
A=\frac{\theta}{2}\,(r_o^{2}-r_i^{2}) =\frac{\pi/4}{2}\,(0{,}160^{2}-0{,}100^{2}) =\frac{\pi}{8}\cdot(0{,}0256-0{,}0100).
r_o^{2}-r_i^{2}=0{,}0156\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad A=\frac{\pi}{8}\cdot 0{,}0156\approx 0{,}0061239\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Força normal total:
N=p\,A\approx 3\,949\,678\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}0061239\\ \mathrm{m^{2}} \approx 24\,170\\ \mathrm{N}.
Em kN:
N\approx 24{,}2\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Interpretações finais e observações rápidas (úteis para a prova):
  • Sob a hipótese de pressão uniforme, a pressão de contato máxima é exatamente p encontrado acima, porque p é constante sobre a área.
  • Se no problema houvesse indicação de pistão com área diferente, a força do pistão seria essa N dividida pela razão mecânica; aqui assumimos que a pergunta quer a força normal total a ser gerada pela ação do atuador (força de acionamento na guarnição).
  • Valores finais arredondados com três dígitos significativos são suficientes para projeto preliminar.

Resposta

Força de acionamento necessária: N\approx 24\,170\\ \mathrm{N} (aprox. 24{,}2\\ \mathrm{kN}).
Pressão de contato máxima: p\approx 3{,}95\\ \mathrm{MPa}.

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