Exercício 2.4.16. Encontre a série de Taylor da função f(x)=(x+1)^{n} em torno de 0 .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos a função \,f(x)=(x+1)^{n}\, e nos pedem a série de Taylor de f em torno de 0.
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que precisamos considerar):
A função está centrada em 0 (ou seja, queremos a expansão em potências de x ao redor de 0).
O parâmetro \,n\, não foi especificado pelo enunciado; portanto devemos tratar o caso geral (qualquer n\in\mathbb{R}) e observar a situação particular quando n for inteiro não‑negativo (nesse caso a expansão será um polinômio finito).
O objetivo final é escrever a expansão em potências de x e indicar onde ela converge.
Passo 2
Definição de série de Taylor em torno de 0 (lembrete didático): a série de Taylor de uma função f em torno de 0 é a soma das potências de x cujos coeficientes são derivados no 0. Especificamente,
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=0, e k! é o fatorial de k (produto dos inteiros de 1 a k; por convenção 0!=1). Vou calcular f^{(k)}(0) para obter os coeficientes.
Passo 3
Cálculo das derivadas gerais de f(x)=(1+x)^{n}: vamos obter uma fórmula para f^{(k)}(x). Para k=0 temos f(x)=(1+x)^{n}. Diferenciando uma vez usamos a regra da potência (derivada de (1+x)^{\alpha} é \alpha(1+x)^{\alpha-1}):
f'(x)=n(1+x)^{n-1}.
Diferenciando novamente:
f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}.
Perceba o padrão: a cada diferenciação aparece um fator decrescente em relação a n e o expoente de (1+x) diminui em 1. Por indução, para todo k\ge 0 obtemos
Explicação da indução (curta e clara): se a fórmula vale para k, ao derivarmos multiplicamos por (n-k) e reduzimos o expoente em 1, que é exatamente a fórmula para k+1.
Passo 4
Avaliação das derivadas em 0 e obtenção dos coeficientes: avaliando a expressão anterior em x=0 obtemos
Esse quociente é exatamente a definição do coeficiente binomial generalizado
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Observação prática: quando n é inteiro não‑negativo, para k>n um dos fatores do numerador é zero, logo \binom{n}{k}=0 e a série termina (é um polinômio de grau n). Quando n não é inteiro, os coeficientes nunca se tornam todos zero e a série é infinita.
Passo 5
Escrevendo a série de Taylor usando os coeficientes obtidos: substituindo os coeficientes na soma da definição de Taylor, obtemos a chamada série binomial:
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}x^{k}.
Isto é a resposta formal — é válida como identidade de séries formais, e para funções com convergência apropriada (próximo passo trato da convergência).
Passo 6
Convergência da série (onde essa expansão vale na prática): usamos o teste da razão. Denote a_k=\binom{n}{k}x^{k}. Então
Ao fazer k\to\infty essa razão tende para |x| (pois \frac{n-k}{k+1}\to -1 em módulo 1). Pelo teste da razão a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Então o raio de convergência é 1. Observações importantes:
Se n é inteiro não‑negativo, a série é finita (soma até k=n) e, portanto, é igual ao polinômio (1+x)^{n} para todo x\in\mathbb{R}.
Se n não é inteiro, a série infinita converge para (1+x)^{n} quando |x|<1; nos pontos x=\pm1 a convergência depende de n (casos especiais), mas isso já é suficiente para a maioria das provas.
Passo 7
Alguns exemplos rápidos para fixar (pra você lembrar na prova):
Esses exemplos mostram tanto o caso polinomial quanto a série infinita.
Resposta
(1+x)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}x^{k}, com \displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}, e a série converge para (1+x)^{n} quando |x|<1.
Se n é inteiro não‑negativo, a soma é finita (até k=n) e a identidade vale para todo x.