Exercício 2.4.16. Encontre a série de Taylor da função f(x)=(x+1)^{n} em torno de 0 .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos a função \,f(x)=(x+1)^{n}\, e nos pedem a série de Taylor de f em torno de 0.
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que precisamos considerar):
  • A função está centrada em 0 (ou seja, queremos a expansão em potências de x ao redor de 0).
  • O parâmetro \,n\, não foi especificado pelo enunciado; portanto devemos tratar o caso geral (qualquer n\in\mathbb{R}) e observar a situação particular quando n for inteiro não‑negativo (nesse caso a expansão será um polinômio finito).
  • O objetivo final é escrever a expansão em potências de x e indicar onde ela converge.

Passo 2

Definição de série de Taylor em torno de 0 (lembrete didático): a série de Taylor de uma função f em torno de 0 é a soma das potências de x cujos coeficientes são derivados no 0. Especificamente,
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k},
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=0, e k! é o fatorial de k (produto dos inteiros de 1 a k; por convenção 0!=1). Vou calcular f^{(k)}(0) para obter os coeficientes.

Passo 3

Cálculo das derivadas gerais de f(x)=(1+x)^{n}: vamos obter uma fórmula para f^{(k)}(x). Para k=0 temos f(x)=(1+x)^{n}. Diferenciando uma vez usamos a regra da potência (derivada de (1+x)^{\alpha} é \alpha(1+x)^{\alpha-1}):
f'(x)=n(1+x)^{n-1}.
Diferenciando novamente:
f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}.
Perceba o padrão: a cada diferenciação aparece um fator decrescente em relação a n e o expoente de (1+x) diminui em 1. Por indução, para todo k\ge 0 obtemos
f^{(k)}(x)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\,(1+x)^{\,n-k}.
Explicação da indução (curta e clara): se a fórmula vale para k, ao derivarmos multiplicamos por (n-k) e reduzimos o expoente em 1, que é exatamente a fórmula para k+1.

Passo 4

Avaliação das derivadas em 0 e obtenção dos coeficientes: avaliando a expressão anterior em x=0 obtemos
f^{(k)}(0)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\,(1)^{\,n-k}=n(n-1)\cdots(n-k+1).
Portanto, o coeficiente da série de Taylor (o termo \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}) é
\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Esse quociente é exatamente a definição do coeficiente binomial generalizado
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Observação prática: quando n é inteiro não‑negativo, para k>n um dos fatores do numerador é zero, logo \binom{n}{k}=0 e a série termina (é um polinômio de grau n). Quando n não é inteiro, os coeficientes nunca se tornam todos zero e a série é infinita.

Passo 5

Escrevendo a série de Taylor usando os coeficientes obtidos: substituindo os coeficientes na soma da definição de Taylor, obtemos a chamada série binomial:
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}x^{k}.
Isto é a resposta formal — é válida como identidade de séries formais, e para funções com convergência apropriada (próximo passo trato da convergência).

Passo 6

Convergência da série (onde essa expansão vale na prática): usamos o teste da razão. Denote a_k=\binom{n}{k}x^{k}. Então
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}\right|\;|x| = \left|\frac{n-k}{k+1}\right|\;|x|.
Ao fazer k\to\infty essa razão tende para |x| (pois \frac{n-k}{k+1}\to -1 em módulo 1). Pelo teste da razão a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Então o raio de convergência é 1. Observações importantes:
  • Se n é inteiro não‑negativo, a série é finita (soma até k=n) e, portanto, é igual ao polinômio (1+x)^{n} para todo x\in\mathbb{R}.
  • Se n não é inteiro, a série infinita converge para (1+x)^{n} quando |x|<1; nos pontos x=\pm1 a convergência depende de n (casos especiais), mas isso já é suficiente para a maioria das provas.

Passo 7

Alguns exemplos rápidos para fixar (pra você lembrar na prova):
  • Se n=2:
(1+x)^{2}=\sum_{k=0}^{2}\binom{2}{k}x^{k}=1+2x+x^{2}.
  • Se n=-1 (série geométrica):
(1+x)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots,\qquad |x|<1.
Esses exemplos mostram tanto o caso polinomial quanto a série infinita.

Resposta

(1+x)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}x^{k}, com \displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}, e a série converge para (1+x)^{n} quando |x|<1.
Se n é inteiro não‑negativo, a soma é finita (até k=n) e a identidade vale para todo x.

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