Exercício 2.4.14. Determine a série de Maclaurin de:
d) f(x)=\operatorname{actg} x.

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a série de Maclaurin de \operatorname{actg} x". Vou assumir que \operatorname{actg} x é a função arco-tangente, ou seja, \operatorname{actg} x = \arctan x (essa é a notação mais comum neste tipo de exercício).
Informações relevantes dadas: a função a expandir é \operatorname{actg} x e queremos sua série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0). Não há figura nem outro dado adicional.

Passo 2

O que é uma série de Maclaurin?
A série de Maclaurin de uma função f é a série de potências obtida pela expansão em torno de 0, dada pela fórmula de Taylor centrada em 0:
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n,
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Aqui n é um índice inteiro não-negativo. Essa fórmula é conceitual, mas calcular muitas derivadas de \arctan x diretamente dá trabalho; por isso escolhemos um método mais prático (explico a seguir).

Passo 3

Escolha do método: em vez de calcular muitas derivadas de \arctan x, usamos que a derivada de \arctan x é simples:
\big(\arctan x\big)'=\frac{1}{1+x^2}.
Se conseguirmos expandir \dfrac{1}{1+x^2} em série de potências em torno de 0, podemos integrar termo a termo (já que \arctan 0=0) para recuperar a série de \arctan x. Esse método costuma ser mais curto e seguro.

Passo 4

Recordando a série geométrica: para uma variável u temos
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty} u^n \qquad\text{para }|u|<1.
Substituindo u=-x^2 (ou, equivalente, usando que \dfrac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n u^n para |u|<1), obtemos:
\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}\qquad\text{para }|x|<1.
Aqui cada termo tem potência par 2n; a série converge absolutamente para |x|<1.

Passo 5

Justificativa para integrar termo a termo: a série de \dfrac{1}{1+x^2} converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1). Por teoremas de séries de potências, podemos integrar termo a termo nesse intervalo. Como \arctan 0=0, integramos de 0 até x:
\arctan x - \arctan 0 = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^2}\,dt = \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n}\,dt.

Passo 6

Integração termo a termo: integrar t^{2n} \dfrac{t^{2n+1}}{2n+1}. Assim
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\qquad\text{para }|x|<1,
pois o termo constante resultante da integração é \arctan 0=0. Essa é a série de Maclaurin procurada.

Passo 7

Escrevendo os primeiros termos para fixar a intuição:
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots.
Ou seja, só aparecem potências ímpares x^{2n+1} com coeficientes (-1)^n/(2n+1).

Passo 8

Raio de convergência e comportamento nos extremos: a série obtida para \dfrac{1}{1+x^2} tem raio de convergência 1 (porque substituímos u=-x^2 na série geométrica; alternativamente as singularidades x=\pm i estão a distância 1 da origem). Integrar não altera o raio, então a série de \arctan x tem raio de convergência 1. Nos pontos x=\pm 1 a série converge condicionalmente e dá
\arctan(1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4},\qquad \arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.

Passo 9

Resumo final do raciocínio (como você pode reproduzir na prova): 1) escreva (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}; 2) expanda \dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} para |x|<1; 3) integre termo a termo usando \arctan 0=0 para obter a série de Maclaurin. Pronto — esse caminho evita calcular muitas derivadas e é rápido em prova.

Resposta

\operatorname{actg}x=\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots\qquad\text{para }|x|<1.

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