Exercício 2.4.14. Determine a série de Maclaurin de:
d)
.
d)
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a série de Maclaurin de
". Vou assumir que
é a função arco-tangente, ou seja,
(essa é a notação mais comum neste tipo de exercício).
Informações relevantes dadas: a função a expandir é e queremos sua série de Maclaurin (série de Taylor centrada em
). Não há figura nem outro dado adicional.
Informações relevantes dadas: a função a expandir é
Passo 2
O que é uma série de Maclaurin?
A série de Maclaurin de uma função é a série de potências obtida pela expansão em torno de
, dada pela fórmula de Taylor centrada em
:
A série de Maclaurin de uma função
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Aqui
é um índice inteiro não-negativo. Essa fórmula é conceitual, mas calcular muitas derivadas de
diretamente dá trabalho; por isso escolhemos um método mais prático (explico a seguir).
Passo 3
Escolha do método: em vez de calcular muitas derivadas de
, usamos que a derivada de
é simples:
Se conseguirmos expandir
em série de potências em torno de
, podemos integrar termo a termo (já que
) para recuperar a série de
. Esse método costuma ser mais curto e seguro.
Passo 4
Recordando a série geométrica: para uma variável
temos
Substituindo
(ou, equivalente, usando que
para
), obtemos:
Aqui cada termo tem potência par
; a série converge absolutamente para
.
Passo 5
Justificativa para integrar termo a termo: a série de
converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em
. Por teoremas de séries de potências, podemos integrar termo a termo nesse intervalo. Como
, integramos de
até
:
Passo 6
Integração termo a termo: integrar
dá
. Assim
pois o termo constante resultante da integração é
. Essa é a série de Maclaurin procurada.
Passo 7
Escrevendo os primeiros termos para fixar a intuição:
Ou seja, só aparecem potências ímpares
com coeficientes
.
Passo 8
Raio de convergência e comportamento nos extremos: a série obtida para
tem raio de convergência
(porque substituímos
na série geométrica; alternativamente as singularidades
estão a distância
da origem). Integrar não altera o raio, então a série de
tem raio de convergência
. Nos pontos
a série converge condicionalmente e dá
Passo 9
Resumo final do raciocínio (como você pode reproduzir na prova): 1) escreva
; 2) expanda
para
; 3) integre termo a termo usando
para obter a série de Maclaurin. Pronto — esse caminho evita calcular muitas derivadas e é rápido em prova.