Mostrar que o vetor gradiente é ortogonal a superficie de nível.

Passo 1

O que o problema pede: provar que o vetor gradiente é ortogonal à superfície de nível.
Informações dadas (explicitamente listadas):
  • Existe uma função diferenciável f: U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}.
  • Para um valor real fixo c, a superfície (ou conjunto) de nível é \{x\in U \mid f(x)=c\}.
  • Queremos mostrar, em um ponto p dessa superfície de nível, que o vetor \nabla f(p) é perpendicular a essa superfície naquele ponto.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • O vetor gradiente \nabla f(p) é o vetor dos coeficientes das derivadas parciais de f em p. Em coordenadas, se f tem variáveis x_1,\dots,x_n, então
\nabla f(p)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(p),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\right).
Cada componente \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) representa a taxa de variação de f quando só a coordenada x_i muda, perto de p.
  • Derivada direcional: se u é um vetor unitário em \mathbb{R}^n, a derivada direcional de f em p na direção u é
D_u f(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h u)-f(p)}{h}.
Uma fórmula fundamental liga derivada direcional e gradiente:
D_u f(p)=\nabla f(p)\cdot u,
isto é, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e a direção u. Vamos usar essa relação. Vou explicar por que ela vale no passo seguinte (cadeia/derivada).

Passo 3

Regra da cadeia para curvas (a peça central do argumento):
Se r:(-a,a)\to U\subset\mathbb{R}^n é uma curva diferenciável e consideramos a função composta g(t)=f(r(t)), então a regra da cadeia diz
g'(t)=\nabla f(r(t))\cdot r'(t).
O que isso significa em palavras: a taxa de variação de f ao longo da curva r(t) é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f (avaliado no ponto que a curva atinge) e o vetor velocidade r'(t) da curva. Aqui r'(t) é um vetor tangente à curva em r(t). A prova dessa fórmula é simplesmente aplicar definição das derivadas parciais e a regra da cadeia coordenada a coordenada; mas a forma conceitual é a que nos interessa: a derivada temporal de f(r(t)) é \nabla f\cdot r'.

Passo 4

Usamos uma curva que se mantenha sobre a superfície de nível:
Escolha uma curva diferenciável r(t) tal que r(0)=p e para todo t próximo de 0 tenhamos r(t) no mesmo conjunto de nível, isto é f(r(t))=c (essa curva “anda” sobre a superfície de nível e passa por p). Como f(r(t)) é constante igual a c, temos
\frac{d}{dt} f(r(t))\Big|_{t=0}=0.
Pelo passo anterior (regra da cadeia), isso implica
0=\nabla f(r(0))\cdot r'(0)=\nabla f(p)\cdot r'(0).
Ou seja, o gradiente em p é ortogonal ao vetor r'(0), que é um vetor tangente à curva em p.

Passo 5

Interpretação do que fizemos: o vetor r'(0) é um vetor tangente à superfície de nível em p. A observação importante (definição de espaço tangente) é que todo vetor tangente à superfície de nível em p pode ser obtido como a velocidade r'(0) de alguma curva r(t) contida na superfície de nível passando por p. Portanto a conclusão do passo anterior vale para qualquer vetor tangente v à superfície em p: temos \nabla f(p)\cdot v=0. Isso diz exatamente que \nabla f(p) é ortogonal ao espaço tangente da superfície de nível em p, ou, de forma mais direta, ortogonal à superfície naquele ponto.

Passo 6

Resumo do argumento em uma linha (para guardar na prova):
Tomando qualquer curva r(t) contida na superfície de nível com r(0)=p, temos f(r(t)) constante, logo
0=\frac{d}{dt}f(r(t))\Big|_{t=0}=\nabla f(p)\cdot r'(0),
e como r'(0) é um vetor tangente arbitrário, segue que \nabla f(p) é perpendicular à superfície de nível em p.

Passo 7

Exemplo concreto e intuição (pra fixar e animar):
Considere f(x,y)=x^2+y^2 em \mathbb{R}^2. As curvas de nível são círculos centrados na origem, do tipo x^2+y^2=c. O gradiente é \nabla f(x,y)=(2x,2y). Num ponto qualquer (x,y) desse círculo, o vetor (2x,2y) aponta radialmente para fora — exatamente perpendicular à tangente do círculo naquele ponto. Isso é consistente com o que mostramos: o gradiente é normal (ortogonal) às curvas de nível. Intuição: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f; se você se move tangencialmente à superfície de nível, não muda f, então essa direção tem derivada zero e deve ser perpendicular ao vetor de maior crescimento.

Resposta

\nabla f(p) é ortogonal ao espaço tangente (ou à superfície de nível) em p.

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