Exercício 16. Um objeto se move segundo a lei s(t)=\frac{t^{2}+3}{t+1}. Determine a velocidade instantânea v(t) aplicando a regra do quociente.

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento
s(t)=\frac{t^{2}+3}{t+1}
e pede a velocidade instantânea v(t) aplicando a regra do quociente.
Informações relevantes que o enunciado forneceu:
\text{o função posição } s(t)=\frac{t^{2}+3}{t+1}\quad\text{(definida para }t\neq -1\text{).}çãçã
A tarefa é calcular v(t)=s'(t) usando a regra do quociente.

Passo 2

Vou aplicar a regra do quociente. Primeiro explico a regra de forma didática: se temos uma função dada por quociente
\frac{u(t)}{v(t)},
então a derivada é
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}.
Aqui u(t) é o numerador, v(t) é o denominador; u'(t) e v'(t) são as derivadas de cada um. A fórmula vem da combinação da regra do produto e da derivada da função inversa; ela nos dá diretamente como calcular a derivada de uma razão.

Passo 3

Identifico u e v para a nossa função:
u(t)=t^{2}+3,\qquad v(t)=t+1.
Agora calculo as derivadas de u e v separadamente, mostrando cada passo:
u'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}+3)=2t,
porque a derivada de t^{2} é 2t e a derivada de constante 3 é 0; e
v'(t)=\frac{d}{dt}(t+1)=1,
porque a derivada de t é 1 e de 1 é 0.

Passo 4

Substituo u, v, u' e v' na fórmula da regra do quociente:
v(t)=s'(t)=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}=\frac{(2t)(t+1)-(t^{2}+3)(1)}{(t+1)^{2}}.
Agora faço a álgebra passo a passo no numerador:
primeiro multiplico (2t)(t+1):
(2t)(t+1)=2t^{2}+2t.
Depois subtraio (t^{2}+3):
2t^{2}+2t-(t^{2}+3)=2t^{2}+2t-t^{2}-3=t^{2}+2t-3.
Portanto
v(t)=\frac{t^{2}+2t-3}{(t+1)^{2}}.

Passo 5

Posso, se quiser, fatorar o numerador para ver formas equivalentes:
t^{2}+2t-3=(t+3)(t-1),
então outra escrita é
v(t)=\frac{(t+3)(t-1)}{(t+1)^{2}}.
Também é importante lembrar que a função original e sua derivada não estão definidas em t=-1 (porque o denominador é zero), logo v(t) vale para t\neq -1.

Resposta

v(t)=\frac{t^{2}+2t-3}{(t+1)^{2}}

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