Exercício 16. Um objeto se move segundo a lei
. Determine a velocidade instantânea
aplicando a regra do quociente.
Passo 1
O enunciado dá a lei do movimento
e pede a velocidade instantânea
aplicando a regra do quociente.
Informações relevantes que o enunciado forneceu:
Informações relevantes que o enunciado forneceu:
A tarefa é calcular
usando a regra do quociente.
Passo 2
Vou aplicar a regra do quociente. Primeiro explico a regra de forma didática: se temos uma função dada por quociente
então a derivada é
Aqui
é o numerador,
é o denominador;
e
são as derivadas de cada um. A fórmula vem da combinação da regra do produto e da derivada da função inversa; ela nos dá diretamente como calcular a derivada de uma razão.
Passo 3
Identifico
e
para a nossa função:
Agora calculo as derivadas de
e
separadamente, mostrando cada passo:
porque a derivada de
é
e a derivada de constante
é
; e
porque a derivada de
é
e de
é
.
Passo 4
Substituo
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Agora faço a álgebra passo a passo no numerador:
primeiro multiplico :
primeiro multiplico
Depois subtraio
:
Portanto
Passo 5
Posso, se quiser, fatorar o numerador para ver formas equivalentes:
então outra escrita é
Também é importante lembrar que a função original e sua derivada não estão definidas em
(porque o denominador é zero), logo
vale para
.