Exercício 15. Encontre f^{\prime}(x) para f(x)=\frac{x}{e^{x}} e determine o ponto onde f^{\prime}(x)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{x}{e^{x}} e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada f^{\prime}(x) e (2) determinar o ponto (valor de x) onde f^{\prime}(x)=0. Informações relevantes: a função está definida para todo x\in\mathbb{R} e sabemos que \displaystyle e^{x}>0 para todo x.

Passo 2

Vamos escolher um método prático para derivar. É conveniente reescrever a função como produto para usar a regra do produto:
f(x)=x\,e^{-x}.
Escolhi a forma produto em vez de aplicar diretamente a regra do quociente porque fica mais simples: derivar x e \displaystyle e^{-x} separadamente e depois aplicar a fórmula do produto é rápido e exige menos álgebra.

Passo 3

Vou lembrar e explicar a regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x), então
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas. No nosso caso escolhemos
u(x)=x,\qquad v(x)=e^{-x}.

Passo 4

Calcule as derivadas de u e v separadamente.
  • Para u(x)=x temos
u'(x)=1,
pois a derivada de x em relação a x é 1.
  • Para v(x)=e^{-x} usamos a regra da cadeia: a derivada de \displaystyle e^{h(x)} é \displaystyle e^{h(x)}\cdot h'(x). Aqui h(x)=-x e h'(x)=-1. Logo
v'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x}).
Organizando os termos e fatorando \displaystyle e^{-x}:
f'(x)=e^{-x}-x\,e^{-x}=(1-x)\,e^{-x}.
Essa é a expressão simplificada da derivada.

Passo 6

Determinar onde f^{\prime}(x)=0. Igualamos a derivada a zero:
(1-x)\,e^{-x}=0.
Observação importante: \displaystyle e^{-x}>0 para todo x, portanto o fator \displaystyle e^{-x} nunca zera. Assim a única possibilidade é que
1-x=0,
que implica
x=1.
Portanto o ponto onde f^{\prime}(x)=0 é x=1.

Resposta

f^{\prime}(x)=(1-x)\,e^{-x}
f^{\prime}(x)=0 em x=1

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