Exercício 15. Encontre
para
e determine o ponto onde
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada
e (2) determinar o ponto (valor de
) onde
. Informações relevantes: a função está definida para todo
e sabemos que
para todo
.
Passo 2
Vamos escolher um método prático para derivar. É conveniente reescrever a função como produto para usar a regra do produto:
Escolhi a forma produto em vez de aplicar diretamente a regra do quociente porque fica mais simples: derivar
e
separadamente e depois aplicar a fórmula do produto é rápido e exige menos álgebra.
Passo 3
Vou lembrar e explicar a regra do produto: se
, então
Aqui
e
são funções quaisquer;
e
são as derivadas delas. No nosso caso escolhemos
Passo 4
Calcule as derivadas de
e
separadamente.
- Para
temos
pois a derivada de
em relação a
é
.
- Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Aqui e . Logo
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Organizando os termos e fatorando
:
Essa é a expressão simplificada da derivada.
Passo 6
Determinar onde
. Igualamos a derivada a zero:
Observação importante:
para todo
, portanto o fator
nunca zera. Assim a única possibilidade é que
que implica
Portanto o ponto onde
é
.