Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule a equação da reta tangente à função
no ponto indicado
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
.
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente aem , ou seja, a reta que tem inclinação igual à derivada e passa pelo ponto .
Passo 2
Calcular o ponto de tangência, isto é, encontrar
. Substituímos
em
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 3
Explicar como obter a inclinação da reta tangente: precisamos da derivada
e depois avaliar em
. Para derivar uma função do tipo razão de polinômios usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
então
Aqui
e
. Vou calcular
e
:
Passo 4
Aplicar a regra do quociente com os
,
e suas derivadas:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Logo
Passo 5
Avaliar a derivada em
:
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 6
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A fórmula da reta tangente no ponto
é
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 7
Simplificar a equação para a forma
. Primeiro expandir:
Coloco os termos constantes sobre um denominador comum
:
Assim
Passo 8
Checagem rápida (sanidade): avaliando a reta em
temos
, que coincide com
. Boa — a reta realmente passa pelo ponto e tem a inclinação correta.