Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+1} em x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule a equação da reta tangente à função f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+1} no ponto indicado x_{0}=1".
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+1}.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa x_{0}=1.
    O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente a f em x=1, ou seja, a reta que tem inclinação igual à derivada f'(1) e passa pelo ponto (1,f(1)).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência, isto é, encontrar f(1). Substituímos x=1 em f:
f(1)=\frac{1^{2}-4}{1+1}=\frac{1-4}{2}=\frac{-3}{2}.
Portanto o ponto de tangência é \bigl(1,\,-\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 3

Explicar como obter a inclinação da reta tangente: precisamos da derivada f'(x) e depois avaliar em x=1. Para derivar uma função do tipo razão de polinômios usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2}-4 e v(x)=x+1. Vou calcular u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-4)=2x,\qquad v'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente com os u, v e suas derivadas:
f'(x)=\frac{(2x)(x+1)-(x^{2}-4)(1)}{(x+1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
(2x)(x+1)=2x^{2}+2x,
2x^{2}+2x-(x^{2}-4)=2x^{2}+2x-x^{2}+4=x^{2}+2x+4.
Logo
f'(x)=\frac{x^{2}+2x+4}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Avaliar a derivada em x_{0}=1:
f'(1)=\frac{1^{2}+2\cdot1+4}{(1+1)^{2}}=\frac{1+2+4}{2^{2}}=\frac{7}{4}.
Portanto a inclinação da reta tangente em x=1 é m=\tfrac{7}{4}.

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. A fórmula da reta tangente no ponto x_{0} é
y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, f'(1)=\tfrac{7}{4} e f(1)=-\tfrac{3}{2}, obtemos
y=\frac{7}{4}(x-1)-\frac{3}{2}.

Passo 7

Simplificar a equação para a forma y=mx+b. Primeiro expandir:
y=\frac{7}{4}x-\frac{7}{4}-\frac{3}{2}.
Coloco os termos constantes sobre um denominador comum 4:
-\frac{7}{4}-\frac{3}{2}=-\frac{7}{4}-\frac{6}{4}=-\frac{13}{4}.
Assim
y=\frac{7}{4}x-\frac{13}{4}.

Passo 8

Checagem rápida (sanidade): avaliando a reta em x=1 temos y=\tfrac{7}{4}\cdot1-\tfrac{13}{4}=-\tfrac{6}{4}=-\tfrac{3}{2}, que coincide com f(1). Boa — a reta realmente passa pelo ponto e tem a inclinação correta.

Resposta

y=\dfrac{7}{4}x-\dfrac{13}{4}

Exercícios relacionados