Exercício 16 Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
|z+1| \leq 2 \quad

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z+1|\le 2\}
e classificá-lo em aberto, fechado e limitado. O conteúdo envolvido é a interpretação geométrica do módulo de um número complexo e noções básicas de topologia no plano.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
|z+1| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}\le 2,
logo o conjunto é o disco de centro em (-1,0) e raio 2. Graficamente, sobre o plano complexo (eixo real horizontal e eixo imaginário vertical), é a região interior à circunferência de raio 2 centrada em (-1,0), incluindo a própria borda.

Passo 3

Para a classificação topológica:
  • A desigualdade “ \le” indica que todos os pontos da fronteira (a circunferência) pertencem ao conjunto, logo ele contém todos os seus pontos-limite e é fechado.
  • Como o raio é 2, o disco cabe dentro de um círculo de raio finito, sendo portanto limitado.
  • Não é aberto, pois pontos da borda não têm bordo-vizinhança contida no conjunto.

Resposta

O conjunto é o disco fechado de centro em (-1,0) e raio 2; ele é fechado e limitado, mas não é aberto.

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