Exercício 16 Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
|z-1+i|<3

Passo 1

O enunciado pede para representar o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |\,z - (1 - i)\,| < 3\}
no plano complexo e classificá-lo em aberto, fechado e limitado. O conteúdo envolvido é geometria analítica em \mathbb{C}, onde a condição |z - z_0| < R define um disco de raio R centrado em z_0.

Passo 2

Para desenhar, escrevemos z = x + i y. Então
|\,z - (1 - i)\,| = \bigl|(x + i y) - (1 - i)\bigr| = \bigl|(x - 1) + i(y + 1)\bigr| = \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}.
A desigualdade |z - (1 - i)| < 3 vira
(x-1)^2 + (y+1)^2 < 9,
que é o interior de um círculo de raio 3 com centro em (1,-1).

Passo 3

Graficamente, traçamos o círculo de centro (1,-1) e raio 3 com linha pontilhada (pois o contorno não faz parte do conjunto) e sombreiamo-lo por dentro. Tudo que ficar a menos de 3 unidades de (1,-1) pertence ao conjunto.

Passo 4

– Aberto: como é desigualdade estrita "<3", o contorno não está incluído, logo é aberto.
– Fechado: não inclui a fronteira, então não é fechado.
– Limitado: está contido num disco de raio 3, portanto é limitado (ou seja, existe M>0 tal que |z|\le M para todo z do conjunto).

Resposta

O conjunto é o disco aberto de centro em (1,-1) e raio 3.
Ele é aberto e limitado (não é fechado).

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