Exercício 16 Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
|z-1+i|<3
Passo 1
O enunciado pede para representar o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |\,z - (1 - i)\,| < 3\}
no plano complexo e classificá-lo em aberto, fechado e limitado. O conteúdo envolvido é geometria analítica em \mathbb{C}, onde a condição |z - z_0| < R define um disco de raio R centrado em z_0.
que é o interior de um círculo de raio 3 com centro em (1,-1).
Passo 3
Graficamente, traçamos o círculo de centro (1,-1) e raio 3 com linha pontilhada (pois o contorno não faz parte do conjunto) e sombreiamo-lo por dentro. Tudo que ficar a menos de 3 unidades de (1,-1) pertence ao conjunto.
Passo 4
– Aberto: como é desigualdade estrita "<3", o contorno não está incluído, logo é aberto.
– Fechado: não inclui a fronteira, então não é fechado.
– Limitado: está contido num disco de raio 3, portanto é limitado (ou seja, existe M>0 tal que |z|\le M para todo z do conjunto).
Resposta
O conjunto é o disco aberto de centro em (1,-1) e raio 3.
Ele é aberto e limitado (não é fechado).