O enunciado pede para encontrar todos os z\in\mathbb{C} tais que
z - \overline{z} = 1.
O conteúdo envolve números complexos e a técnica de escrever z em termos de suas partes real e imaginária.
Passo 2
Seja
z = x + i y,
com x,y\in\mathbb{R}. Então
\overline{z} = x - i y
e portanto
z - \overline{z} = (x + i y) - (x - i y) = 2\,i\,y.
Passo 3
Substituindo na equação dada, temos
2\,i\,y = 1.
Para essa igualdade valeirover, as partes real e imaginária devem coincidir de ambos os lados. O lado esquerdo é puramente imaginário (parte real zero), mas o lado direito é 1 (parte real igual a 1). Logo o sistema de equações em coordenadas reais seria
\begin{cases} 0 = 1,\\\\ 2\,y = 0, \end{cases}
que é incompatível desde a primeira linha.
Resposta
Não existem valores de z que satisfaçam z - \overline{z} = 1.