Exercício 16 Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
1<|z+1-2 i| \leq 2

Passo 1

O enunciado pede a representação gráfica e a classificação (aberto, fechado, limitado) do conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid 1<\lvert z+1-2i\rvert\le2\}.
O conteúdo é geometria no plano complexo: reconhecer que \lvert z-z_0\rvert=r define um círculo de raio r centrado em z_0, e que desigualdades com valores estritos ou não determinam se o círculo faz parte ou não do conjunto.

Passo 2

Reescrevendo z+1-2i=(z-(-1+2i)), vemos que o centro é
z_0=-1+2i,
o que corresponde ao ponto (-1,2) no plano xy. A condição
1<\lvert z-z_0\rvert\le2
significa que estamos considerando todos os pontos cuja distância ao centro (-1,2) é maior que 1 (raio interno) e menor ou igual a 2 (raio externo).

Passo 3

Gráfico do conjunto:
– Desenhe o círculo de raio 1 centrado em (-1,2) usando linha tracejada (não incluído).
– Desenhe o círculo de raio 2 centrado em (-1,2) usando linha contínua (incluído).
– Pinte a região anelar entre esses dois círculos.

Passo 4

Classificação quanto a fechado/aberto:
– Na fronteira interna \lvert z-z_0\rvert=1 os pontos não estão no conjunto, pois temos 1<\lvert z-z_0\rvert.
– Na fronteira externa \lvert z-z_0\rvert=2 os pontos estão no conjunto, pois temos \lvert z-z_0\rvert\le2.
Portanto o conjunto não é aberto (pois inclui parte da fronteira externa) e não é fechado (pois exclui parte da fronteira interna).

Passo 5

Classificação quanto a limitado:
O conjunto está contido no círculo de raio 2 em torno de (-1,2), logo é limitado.

Resposta

O conjunto é uma região anelar centrada em (-1,2) com raio interno 1 (não incluído) e raio externo 2 (incluído).
Ele é nem aberto nem fechado, mas limitado.

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