Exercício 16 Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
Passo 1
O enunciado pede a representação gráfica e a classificação (aberto, fechado, limitado) do conjunto
O conteúdo é geometria no plano complexo: reconhecer que
define um círculo de raio
centrado em
, e que desigualdades com valores estritos ou não determinam se o círculo faz parte ou não do conjunto.
Passo 2
Reescrevendo
, vemos que o centro é
o que corresponde ao ponto
no plano
. A condição
significa que estamos considerando todos os pontos cuja distância ao centro
é maior que
(raio interno) e menor ou igual a
(raio externo).
Passo 3
Gráfico do conjunto:
– Desenhe o círculo de raio centrado em
usando linha tracejada (não incluído).
– Desenhe o círculo de raio centrado em
usando linha contínua (incluído).
– Pinte a região anelar entre esses dois círculos.
– Desenhe o círculo de raio
– Desenhe o círculo de raio
– Pinte a região anelar entre esses dois círculos.
Passo 4
Classificação quanto a fechado/aberto:
– Na fronteira interna os pontos não estão no conjunto, pois temos
.
– Na fronteira externa os pontos estão no conjunto, pois temos
.
Portanto o conjunto não é aberto (pois inclui parte da fronteira externa) e não é fechado (pois exclui parte da fronteira interna).
– Na fronteira interna
– Na fronteira externa
Portanto o conjunto não é aberto (pois inclui parte da fronteira externa) e não é fechado (pois exclui parte da fronteira interna).
Passo 5
Classificação quanto a limitado:
O conjunto está contido no círculo de raio em torno de
, logo é limitado.
O conjunto está contido no círculo de raio
Resposta
O conjunto é uma região anelar centrada em
com raio interno
(não incluído) e raio externo
(incluído).
Ele é nem aberto nem fechado, mas limitado.
Ele é nem aberto nem fechado, mas limitado.