Exercício 16. Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações:
|x-5|=5-x

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
|x-5| = 5 - x.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e deve ser um número real.
  • À esquerda há um valor absoluto |x-5|.
  • À direita há a expressão linear 5-x.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é valor absoluto e como usá-lo para resolver equações. Para qualquer número real y\) vale: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Intuição rápida: |y|\] mede a “distância” de \(y até 0, então é sempre não negativo. Exemplos: |3| = 3 e |-2| = -(-2)=2.
No nosso caso, tome y = x-5. Assim a equação fica
|x-5| = 5 - x.
Observe também a identidade algébrica
5-x = -(x-5),
ou seja, o lado direito é -(x-5). Isso já sugere que a igualdade envolve o caso em que o valor absoluto pode ser igual a -da expressão interna.]

Passo 3

Vamos resolver fazendo a análise por casos com base no sinal de x-5. Isso é o método padrão para equações com valor absoluto: dividir em dois casos e resolver em cada um, lembrando de verificar a condição de validade do caso.

Passo 4

Caso 1: suponha x-5 \ge 0 (isto é, x \ge 5).
Nesse caso |x-5| = x-5. Substituindo na equação:
x-5 = 5 - x.
Resolva essa equação:
x-5 = 5-x \implies x + x = 5 + 5 \implies 2x = 10 \implies x = 5.
Verificação da condição do caso: para x=5 temos x-5=0, que satisfaz x-5 \ge 0. Logo x=5 é solução válida.

Passo 5

Caso 2: suponha x-5 < 0 (isto é, x < 5).
Nesse caso |x-5| = -(x-5). Substituindo na equação:
-(x-5) = 5 - x.
Mas já vimos que 5-x = -(x-5), então a igualdade fica
-(x-5) = -(x-5),
que é verdadeira para todo x que satisfaça a hipótese x<5. Portanto, qualquer x<5 é solução.

Passo 6

Juntando os resultados dos dois casos: o conjunto de soluções é todos os x<5 (do caso 2) mais x=5 (do caso 1). Em resumo, todas as x tais que x \le 5.
Podemos conferir com exemplos rápidos:
  • x=4: |4-5|=1 e 5-4=1 → ok.
  • x=5: |5-5|=0 e 5-5=0 → ok.
  • x=6: |6-5|=1 e 5-6=-1 → não igual → x>5 não funciona.

Resposta

(-\infty,5]

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