Exercício 16. Resolva, em
, as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
e deve ser um número real. - À esquerda há um valor absoluto
. - À direita há a expressão linear
.
O objetivo é encontrar todos os valores deque tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é valor absoluto e como usá-lo para resolver equações. Para qualquer número real
Intuição rápida:
até
, então é sempre não negativo. Exemplos:
e
.
No nosso caso, tome
. Assim a equação fica
Observe também a identidade algébrica
ou seja, o lado direito é
. Isso já sugere que a igualdade envolve o caso em que o valor absoluto pode ser igual a
da expressão interna.]
Passo 3
Vamos resolver fazendo a análise por casos com base no sinal de
. Isso é o método padrão para equações com valor absoluto: dividir em dois casos e resolver em cada um, lembrando de verificar a condição de validade do caso.
Passo 4
Caso 1: suponha
(isto é,
).
Nesse caso . Substituindo na equação:
Nesse caso
Resolva essa equação:
Verificação da condição do caso: para
temos
, que satisfaz
. Logo
é solução válida.
Passo 5
Caso 2: suponha
(isto é,
).
Nesse caso . Substituindo na equação:
Nesse caso
Mas já vimos que
, então a igualdade fica
que é verdadeira para todo
que satisfaça a hipótese
. Portanto, qualquer
é solução.
Passo 6
Juntando os resultados dos dois casos: o conjunto de soluções é todos os
(do caso 2) mais
(do caso 1). Em resumo, todas as
tais que
.
Podemos conferir com exemplos rápidos:
-
: e → ok. -
: e → ok. -
: e → não igual → não funciona.