Exercício 16. Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações: \left|\frac{x+1}{x-1}\right|=2
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva, em \mathbb{R}, a equação
\left|\frac{x+1}{x-1}\right| = 2.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \,1.\, A expressão \frac{x+1}{x-1} só está definida quando x \neq 1 (porque o denominador não pode ser zero).\n \,2.\, O objetivo é encontrar todos os números reais x (exceto possivelmente x=1) que satisfaçam a igualdade dada.
Passo 2
Conceito importante (aqui eu explico a teoria necessária): para qualquer expressão real A e número real b\ge 0, a igualdade
|A| = b
é equivalente a
A = b \quad\text{ou}\quad A = -b.
Isso acontece porque o valor absoluto de A é a distância de A até zero; portanto, se essa distância é b, então A pode ser b (à direita de zero) ou -b (à esquerda de zero). No nosso problema, A=\dfrac{x+1}{x-1} e b=2 (note que 2\ge0, então a regra vale).
Passo 3
Aplicando a propriedade do passo anterior à nossa equação, obtemos duas equações sem valor absoluto: