Exercício 16. Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações:
\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=2

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, em \mathbb{R}, a equação
\left|\frac{x+1}{x-1}\right| = 2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,1.\, A expressão \frac{x+1}{x-1} só está definida quando x \neq 1 (porque o denominador não pode ser zero).\n
\,2.\, O objetivo é encontrar todos os números reais x (exceto possivelmente x=1) que satisfaçam a igualdade dada.

Passo 2

Conceito importante (aqui eu explico a teoria necessária): para qualquer expressão real A e número real b\ge 0, a igualdade
|A| = b
é equivalente a
A = b \quad\text{ou}\quad A = -b.
Isso acontece porque o valor absoluto de A é a distância de A até zero; portanto, se essa distância é b, então A pode ser b (à direita de zero) ou -b (à esquerda de zero). No nosso problema, A=\dfrac{x+1}{x-1} e b=2 (note que 2\ge0, então a regra vale).

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior à nossa equação, obtemos duas equações sem valor absoluto:
\frac{x+1}{x-1} = 2 \quad\text{ou}\quad \frac{x+1}{x-1} = -2,
sempre lembrando que x\neq 1. Agora vou resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Resolvo a primeira equação:
\frac{x+1}{x-1} = 2.
Como x\neq 1, posso multiplicar ambos os lados por x-1 sem criar divisão por zero:
x+1 = 2(x-1).
Agora desenvolvo o lado direito e isolo x:
x+1 = 2x - 2.
Subtraio x de ambos os lados:
1 = x - 2.
Somando 2 aos dois lados:
3 = x.
Portanto, uma solução candidata é \,x=3. Como 3\neq 1, ela respeita o domínio.

Passo 5

Resolvo a segunda equação:
\frac{x+1}{x-1} = -2.
Multiplico ambos os lados por x-1 (novamente x\neq 1 evita problema):
x+1 = -2(x-1).
Desenvolvo o lado direito:
x+1 = -2x + 2.
Agora somo 2x aos dois lados para agrupar x:
3x + 1 = 2.
Subtraio 1 dos dois lados:
3x = 1.
Divido por 3:
x = \frac{1}{3}.
Portanto, outra solução candidata é \,x=\frac{1}{3}. Como \frac{1}{3}\neq 1, ela também está no domínio.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
Para x=3:
\frac{3+1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{3+1}{3-1}\right| = |2| = 2,
logo x=3 funciona.
Para x=\frac{1}{3}:
\frac{\tfrac{1}{3}+1}{\tfrac{1}{3}-1} = \frac{\tfrac{4}{3}}{-\tfrac{2}{3}} = -2 \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{\tfrac{1}{3}+1}{\tfrac{1}{3}-1}\right| = |-2| = 2,
logo x=\frac{1}{3} também funciona.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1}{3}
\displaystyle x=3

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