Exercício 16. Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações:
|x+3|=x+3

Passo 1

O enunciado pede: resolver, em \mathbb{R}, a equação
|x+3| = x+3.
Informações dadas: a expressão dentro do valor absoluto é \,x+3. A pergunta é: quais valores reais de x satisfazem essa igualdade?

Passo 2

Vamos recordar a definição prática do valor absoluto, que é o conceito central aqui. Para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Isto significa que o valor absoluto “retira” o sinal negativo: se y\] já é não negativo, \(|y|=y; se y é negativo, |y|=-y (que é positivo). Exemplo rápido para fixar: |5|=5 e |-2|=-(-2)=2.]

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, tomamos y = x+3. Devemos então analisar dois casos distintos, dependendo do sinal de x+3:
  • caso 1: x+3 \ge 0 (ou seja, x \ge -3);
  • caso 2: x+3 < 0 (ou seja, x < -3).

Passo 4

Resolver o caso 1 ( x \ge -3). Se x+3 \ge 0, pela definição do valor absoluto temos |x+3| = x+3. Substituindo na equação original obtemos
x+3 = x+3.
Essa igualdade é verdadeira para qualquer x que satisfaça a condição x \ge -3. Portanto, todo x com x \ge -3 é solução neste caso.

Passo 5

Resolver o caso 2 ( x < -3). Se x+3 < 0, então |x+3| = -(x+3) = -x-3. Substituindo na equação original:
-x-3 = x+3.
Agora resolvemos essa equação: somando x em ambos os lados e subtraindo 3 em ambos os lados,
-2x = 6.
Dividindo por -2,
x = -3.
Mas atenção: este valor x = -3 não pertence ao caso que estamos analisando, porque o caso 2 exige x < -3. Então a solução obtida aqui é incompatível com a hipótese do caso 2 e não deve ser aceita como solução desse ramo. (No entanto, veremos que x=-3 foi aceito no caso 1.)

Passo 6

Juntando os resultados dos dois casos: do caso 1 temos todas as x com x \ge -3; do caso 2 não emergem soluções novas (o único candidato x=-3 já está no caso 1). Logo o conjunto solução é todos os reais maiores ou iguais a -3.

Resposta

\,[-3,\infty)

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