Exercício 16. Resolva, em
, as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: resolver, em
, a equação
Informações dadas: a expressão dentro do valor absoluto é
. A pergunta é: quais valores reais de
satisfazem essa igualdade?
Passo 2
Vamos recordar a definição prática do valor absoluto, que é o conceito central aqui. Para qualquer número real
Isto significa que o valor absoluto “retira” o sinal negativo: se
; se
é negativo,
(que é positivo). Exemplo rápido para fixar:
e
.]
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, tomamos
. Devemos então analisar dois casos distintos, dependendo do sinal de
:
- caso 1:
(ou seja, ); - caso 2:
(ou seja, ).
Passo 4
Resolver o caso 1 (
). Se
, pela definição do valor absoluto temos
. Substituindo na equação original obtemos
Essa igualdade é verdadeira para qualquer
que satisfaça a condição
. Portanto, todo
com
é solução neste caso.
Passo 5
Resolver o caso 2 (
). Se
, então
. Substituindo na equação original:
Agora resolvemos essa equação: somando
em ambos os lados e subtraindo
em ambos os lados,
Dividindo por
,
Mas atenção: este valor
não pertence ao caso que estamos analisando, porque o caso 2 exige
. Então a solução obtida aqui é incompatível com a hipótese do caso 2 e não deve ser aceita como solução desse ramo. (No entanto, veremos que
foi aceito no caso 1.)
Passo 6
Juntando os resultados dos dois casos: do caso 1 temos todas as
com
; do caso 2 não emergem soluções novas (o único candidato
já está no caso 1). Logo o conjunto solução é todos os reais maiores ou iguais a
.