Exercício 16: Um sistema tem entrada x[n] e saída y[n]. Use a função de transferência para determinar a resposta ao impulso dos sistemas:
x[n]=(-3)^-n u[n], y[n]=3(-1)^n u[n]+3^-n u[n]

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI discreto cuja entrada e saída são
Queremos achar a resposta ao impulso . Para isso usaremos as transformadas Z de e , calculamos
e então fazemos a antitransformada Z para obter .

Passo 2

Calcular X(z)=Zx[n] para x[n]=(-3)^-nu[n].
X(z)=sumn=0^infty(-3)^-nz^-n =sumn=0^inftyl(z^-1-3r)^n =11-l(-tfrac13z^-1r) =11+tfrac13z^-1 =3z3z+1

Passo 3

Calcular para .
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Passo 4

Formar H(z)=Y(z)/X(z). Usando
;X(z)=3z/(3z+1), temos
H(z) =l(31+z^-1+3z3z-1r)/3z3z+1 =3z+13z,l(31+z^-1+3z3z-1r)
Fazendo a simplificação algébrica completa obtemos
H(z) =12z^2+4z3z^2+2z-1 =12+4z^-13+2z^-1-z^-2

Passo 5

Colocar em frações parciais em termos de A=z^-1:
H(z) =12+4A3+2A-A^2 =12+4A(3-A)(A+1) =63-A+2A+1
Voltar a z^-1:
63-z^-1 =2cdot11-tfrac13z^-1, 21+z^-1 =2cdot11-(-1)z^-1

Passo 6

Antitransformada Z de cada parcela:
2cdot11-tfrac13z^-1 long<=ftrightarrow 2l(tfrac13r)^nu[n], 2cdot11-(-1)z^-1 long<=ftrightarrow 2(-1)^nu[n]
Somando, a resposta ao impulso é
h[n] =2l(tfrac13r)^nu[n] +2(-1)^nu[n]

Resposta

h[n]=2cdot3^-nu[n]+2(-1)^nu[n]

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