Exercício 15: Determine y[n] solução das equações:
y[n+2]+4 y[n+1]+4 y[n]=400(-2)^n u[n], y[0]=100, y[1]=-100

Passo 1

O enunciado dá a equação a diferenças de segunda ordem
y[n+2]+4,y[n+1]+4,y[n]=400(-2)^nu[n]
com condições iniciais y[0]=100, y[1]=-100. O conteúdo é solução de equação linear a coeficientes constantes: dividimos em solução homogênea e particular.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
yh[n+2]+4,yh[n+1]+4,yh[n]=0
Assumindo yh[n]=r^n obtemos a equação característica
r^2+4r+4=0Longrightarrow(r+2)^2=0
com raiz dupla r=-2. Logo
yh[n]=(A+Bn)(-2)^n

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é 400(-2)^n e (-2)^n já aparece em yh com multiplicidade 2, escolhemos
yp[n]=C,n^2(-2)^n
Substituindo na equação original e simplificando fator (-2)^n, chega-se a
Cl[;4(n+2)^2-8(n+1)^2+4n^2;r]=400
e o colapso do polinômio interno dá 8C=400, de onde C=50. Assim
yp[n]=50,n^2(-2)^n

Passo 4

A solução geral é
y[n]=(A+Bn)(-2)^n+50,n^2(-2)^n
Em n=0 vem
y[0]=A=100
Em n=1 vem
y[1]=(A+B)(-2)+50cdot1^2(-2)=-2(A+B)-100=-100
logo -2(A+B)=0, ou seja B=-A=-100.

Resposta

boxedy[n]=(50n^2-100n+100)(-2)^n, n>=0

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