Exercício 16: Um sistema tem entrada x[n] e saída y[n]. Use a função de transferência para determinar a resposta ao impulso dos sistemas:
x[n]=(-3)^n u[n], y[n]=4(2)^n u[n]-2^-n u[n]

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI causal com entrada x[n] e saída y[n] dadas por
x[n]=(-3)^n,u[n], y[n]=4cdot 2^n,u[n]; - ;2^-n,u[n]
Queremos achar a resposta ao impulso h[n] usando a função de transferência
H(z)=Y(z)X(z)
Para isso, vamos precisar das transformadas de x[n] e y[n], de manipular algebricamente H(z) e depois fazer a anti‐transformada de Z.

Passo 2

Calcular X(z) e Y(z). Como para todo a^n u[n] vale
Za^n u[n]=sumn=0^infty a^n z^-n=11 - a,z^-1,
temos
X(z)=sumn=0^infty(-3)^n z^-n =11 - (-3),z^-1 =11 + 3,z^-1
e
Y(z) =sumn=0^infty 4cdot2^n z^-n;-;sumn=0^infty 2^-nz^-n =41 - 2,z^-1 -11 - tfrac12,z^-1

Passo 3

Formar a função de transferência:
H(z)=Y(z)X(z) =l[41 - 2,z^-1-11 - tfrac12,z^-1r],(1+3,z^-1)
Distribuindo, obtemos
H(z) =4,1+3,z^-11-2,z^-1 ;-;1+3,z^-11-tfrac12,z^-1

Passo 4

Escrevendo cada fração como soma de termos padrão:
4,1+3,z^-11-2,z^-1 =4,11-2,z^-1 +12,z^-11-2,z^-1,
1+3,z^-11-tfrac12,z^-1 =11-tfrac12,z^-1 +3,z^-11-tfrac12,z^-1
Como se sabe que
Z^-1l11-a,z^-1r=a^n,u[n], Z^-1lz^-11-a,z^-1r=a^n-1,u[n-1],
temos
h[n] =4cdot2^n,u[n] +12cdot2^,n-1u[n-1] -l[(tfrac12)^n,u[n] +3cdot(tfrac12)^,n-1u[n-1]r]

Passo 5

Agora simplificamos para n>=0. Observando que u[n-1]=1 para n>=1 e u[n]=1 para n>=0, obtemos
h[0]=4cdot2^0 - (tfrac12)^0 =4-1=3,
e para n>=1,
h[n] =4cdot2^n +12cdot2^n-1 -(tfrac12)^n -3cdot(tfrac12)^n-1 =10cdot2^n -7cdot(tfrac12)^n
Como também vale 10cdot2^0-7cdot(tfrac12)^0=3, podemos unificar em
h[n]=(10cdot2^n ;-;7cdot(tfrac12)^n),u[n]

Resposta

boxedh[n]=(10cdot2^n -7cdot(tfrac12)^n),u[n]

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