Exercício 13: A sequência x[n] tem transformada Z dada por
X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3, |z|>0.5
Determine:
a) x[+infty]
b) x[0]
c) sumk=-infty^+infty x[k]
d) x[4]
e) x[5]

Passo 1

O enunciado dá a transformada Z de uma sequência x[n]:
X(z)=9(z-0.5)^2(z+0.5)^3, |z|>0.5
O conteúdo é inversão de transformada de Z por frações parciais e propriedades de ROC. Precisamos (i) entender a causalidade e o comportamento em ntoinfty, (ii) obter soma total sum x[n] via X(1), (iii) fazer frações parciais para achar x[n] em pontos específicos.

Passo 2

Analisando os polos em z=0.5 e z=-0.5 e a região de convergência |z|>0.5, concluímos que x[n] é causal ( x[n]=0 para n<0) e que decai exponencialmente com razão <=0.5. Logo,
x[+infty]=0

Passo 3

A soma total sumk=-infty^inftyx[k] para sequência causal é
sumn=0^inftyx[n]=X(1),
pois 1 está na ROC. Substituindo:
sumk=-infty^inftyx[k] =9(1-0.5)^2(1+0.5)^3 =9(0.5)^2,(1.5)^3 =90.25cdot3.375 =323

Passo 4

Para achar x[n] em pontos isolados, fazemos frações parciais:
9(z-0.5)^2(z+0.5)^3 =Az-0.5+B(z-0.5)^2 +Cz+0.5+D(z+0.5)^2+E(z+0.5)^3
Usando as fórmulas para coeficientes em polos de ordem maior que 1, obtemos
A=-27,;B=9,; C=27,;D=18,;E=9

Passo 5

Cada termo da fração parcial gera:
x[n]= underbrace-27,(0.5)^,n-1n>=1 +underbrace9,(n-1),0.5^,n-2n>=2 +underbrace27,(-0.5)^,n-1n>=1 +underbrace18,(n-1),(-0.5)^,n-2n>=2 +underbrace9,binomn-12,(-0.5)^,n-3n>=3
Para n<0, x[n]=0.

Passo 6

Agora avaliamos nos pontos pedidos:
b) n=0: todos os termos exigem n>=1, logo
x[0]=0
d) n=4:
x[4]=-27cdot0.5^3+9cdot3cdot0.5^2 +27cdot(-0.5)^3+18cdot3cdot(-0.5)^2 +9binom32(-0.5)^1=0
e) n=5:
x[5]=-27cdot0.5^4+9cdot4cdot0.5^3 +27cdot(-0.5)^4+18cdot4cdot(-0.5)^3 +9binom42(-0.5)^2=9

Resposta

a) x[+infty]=0
b) x[0]=0
c) sumk=-infty^inftyx[k]=tfrac323
d) x[4]=0
e) x[5]=9

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