Exercício 16. Para que valores de
a função f é contínua?
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta para quais
essa função é contínua. O conteúdo aqui é a definição de continuidade em um ponto:
é contínua em
se
. Vamos usar a definição de limite e explorar aproximações por números racionais e irracionais.
Passo 2
Verifiquemos a continuidade em
. Primeiro,
(pois
é racional). Agora tomemos qualquer
e escolha
. Se
, então:
- Se
é irracional, e
- Se
é racional, e
Logo, em todos os casos
, o que mostra
. Portanto
é contínua em
.
Passo 3
Agora consideremos um ponto
. Para existir
, todas as sequências
deveriam levar
ao mesmo valor. Mas:
- Se
é sequência irracional com , então . - Se
é sequência racional com , então .
Como, temos , logo os limites ao longo de irracionais e de racionais são diferentes. Isso impede a existência de . Consequentemente não há continuidade em nenhum .
Resposta
A função
é contínua somente em
.