Exercício 16. Para que valores de χ a função f é contínua?
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0 & \text { se } & x \text { é racional } \\\ x & \text { se } & x \text { é irracional }\end{array}\right.éé

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 0,&\text{se }x\text{ é racional},\\\ x,&\text{se }x\text{ é irracional}, \end{cases}éé
e pergunta para quais x essa função é contínua. O conteúdo aqui é a definição de continuidade em um ponto: f é contínua em c se \lim_{x\to c}f(x)=f\text{(c)}. Vamos usar a definição de limite e explorar aproximações por números racionais e irracionais.

Passo 2

Verifiquemos a continuidade em c=0. Primeiro, f(0)=0 (pois 0 é racional). Agora tomemos qualquer \varepsilon>0 e escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|x-0|<\delta, então:
  • Se x é irracional, f(x)=x e
|f(x)-f(0)|=|x-0|<\delta=\varepsilon.
  • Se x é racional, f(x)=0 e
|f(x)-f(0)|=|0-0|=0<\varepsilon.
Logo, em todos os casos |f(x)-f(0)|<\varepsilon, o que mostra \lim_{x\to0}f(x)=0=f(0). Portanto f é contínua em 0.

Passo 3

Agora consideremos um ponto c\neq0. Para existir \lim_{x\to c}f(x), todas as sequências x_n\to c deveriam levar f(x_n) ao mesmo valor. Mas:
  • Se x_n é sequência irracional com x_n\to c, então f(x_n)=x_n\to c.
  • Se y_n é sequência racional com y_n\to c, então f(y_n)=0\to0.
    Como c\neq0, temos c\neq0, logo os limites ao longo de irracionais e de racionais são diferentes. Isso impede a existência de \lim_{x\to c}f(x). Consequentemente não há continuidade em nenhum c\neq0.

Resposta

A função f é contínua somente em x=0.

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