Exercício 166 (Avançado). Nos remetendo ao exercício 144 sobre funções simples, mostre que se f, g \in S([a, b]) e h \in S([c, d]), então
  1. Se k \in \mathbb{R} é uma constante real, o mapa k \cdot f \in S([a, b]) é simples.
  2. A soma f+g \in S([a, b]) destes mapas simples é simples.
  3. A multiplicação entre os mapas f \cdot g \in S([a, b]) é também simples.
  4. Mostre que se \operatorname{im} f \subset \operatorname{dom} h e ambas são simples, então h \circ f é simples.

Passo 1

O enunciado pede que, dadas funções simples f,g\in S([a,b]) e h\in S([c,d]), se mostre cada uma das quatro propriedades abaixo. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
  • f\in S([a,b]) e g\in S([a,b]). Ou seja, cada uma toma apenas um número finito de valores em [a,b].
  • h\in S([c,d]). Ou seja, h toma apenas um número finito de valores em [c,d].
  • Em (4) temos a hipótese adicional \operatorname{im} f \subset \operatorname{dom} h.
O que se pede (quatro afirmações a provar):
  1. Para k\in\mathbb{R} constante, k\cdot f\in S([a,b]).
  2. f+g\in S([a,b]).
  3. f\cdot g\in S([a,b]).
  4. Se \operatorname{im} f \subset \operatorname{dom} h, então h\circ f\in S([a,b]).
Observações úteis (não resoluções ainda, só coisas dadas que vamos usar):
  • Uma função simples é aquela que pode ser escrita como soma finita de constantes multiplicando funções indicadoras de conjuntos (ou seja, toma valores de um conjunto finito de números).
  • A função indicadora de um conjunto A\subset [a,b] é \chi_A(x)=1 se x\in A e \chi_A(x)=0 se x\notin A.

Passo 2

Definição e representação canônica de funções simples — armar a ferramenta que usaremos.
Se f\in S([a,b]) então existe uma representação (podemos escolher uma que use conjuntos disjuntos que particionam [a,b])
f=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\,\chi_{A_i},
onde n\in\mathbb{N}, os \alpha_i\in\mathbb{R} são os valores distintos que f assume, os conjuntos A_i\subset[a,b] são mutuamente disjuntos ( A_i\cap A_j=\varnothing para i\neq j) e \bigcup_{i=1}^n A_i=[a,b]. Analogamente, para g\in S([a,b]) existe
g=\sum_{j=1}^{m}\beta_j\,\chi_{B_j},
com m\in\mathbb{N}, \beta_j\in\mathbb{R}, B_j disjuntos e \bigcup_{j=1}^m B_j=[a,b]. Para h\in S([c,d]) existe
h=\sum_{t=1}^{p}\gamma_t\,\chi_{C_t},
com p\in\mathbb{N}, \gamma_t\in\mathbb{R}, C_t disjuntos e \bigcup_{t=1}^p C_t=[c,d].
Explicando com calma: essa representação significa que em cada conjunto A_i a função f vale exatamente \alpha_i. Usar conjuntos disjuntos que cobrem todo o domínio é prático porque evita contagens repetidas de pontos.

Passo 3

Prova de (1): multiplicação por constante.
Se f=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\,\chi_{A_i} e k\in\mathbb{R}, então
k\cdot f = k\cdot\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\,\chi_{A_i}=\sum_{i=1}^{n}(k\alpha_i)\,\chi_{A_i}.
Cada coeficiente k\alpha_i é um número real e os conjuntos A_i continuam sendo finitos em número e disjuntos; portanto k\cdot f tem representação como soma finita de constantes vezes indicadoras. Logo k\cdot f\in S([a,b]).
Comentário didático: multiplicar uma função que só assume os valores \{\alpha_1,\dots,\alpha_n\} por k produz uma função que só assume os valores \{k\alpha_1,\dots,k\alpha_n\}, um conjunto finito — por isso continua simples.

Passo 4

Prova de (2): soma de duas funções simples.
Começamos das representações
f=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\,\chi_{A_i},\qquad g=\sum_{j=1}^{m}\beta_j\,\chi_{B_j}.
Considere os conjuntos A_i\cap B_j para i=1,\dots,n e j=1,\dots,m. Esses n\cdot m conjuntos são mutuamente disjuntos (duas interseções diferentes A_{i}\cap B_{j} e A_{i'}\cap B_{j'} são disjuntas se (i,j)\neq(i',j')) e a união de todos eles é
\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^m (A_i\cap B_j) = \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\cap\left(\bigcup_{j=1}^m B_j\right)=[a,b]\cap[a,b]=[a,b].
Em cada conjunto A_i\cap B_j vale f=\alpha_i e g=\beta_j; assim em A_i\cap B_j tem-se
(f+g)(x)=\alpha_i+\beta_j.
Portanto
f+g=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\alpha_i+\beta_j)\,\chi_{A_i\cap B_j}.
Isto é uma soma finita de constantes multiplicando indicadoras de conjuntos disjuntos que cobrem o domínio, então f+g\in S([a,b]).
Dica prática para prova em prova de faculdade: ao somar duas funções simples, refine a partição do domínio tomando todas as interseções das peças onde cada função é constante; nisso o somatório fica imediato.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (pequena “aula concreta”): suponha f toma valores \{1,2\} em conjuntos A_1,A_2 e g toma valores \{0,3\} em B_1,B_2. As interseções são quatro: A_1\cap B_1,A_1\cap B_2,A_2\cap B_1,A_2\cap B_2. Em cada uma delas f+g vale respectivamente 1+0,1+3,2+0,2+3; são apenas quatro valores possíveis — finito — logo simples.

Passo 6

Prova de (3): produto de duas funções simples.
Usando novamente
f=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\,\chi_{A_i},\qquad g=\sum_{j=1}^{m}\beta_j\,\chi_{B_j},
nos mesmos conjuntos A_i\cap B_j temos que em A_i\cap B_j vale f=\alpha_i e g=\beta_j, logo
(f\cdot g)(x)=\alpha_i\beta_j \quad\text{para }x\in A_i\cap B_j.
Portanto
f\cdot g = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\alpha_i\beta_j)\,\chi_{A_i\cap B_j}.
Novamente é uma soma finita de constantes vezes indicadoras de conjuntos disjuntos que cobrem [a,b], logo f\cdot g\in S([a,b]).
Comentário didático: a ideia é a mesma da soma — ao multiplicar, cada combinação de valores possíveis de f e g dá um valor possível do produto; como há apenas um número finito de combinações, o produto toma apenas valores de um conjunto finito.

Passo 7

Observação sobre simplificação: em todas as representações obtidas para f+g e f\cdot g pode haver alguns coeficientes repetidos ou alguns conjuntos A_i\cap B_j vazios; é sempre possível recolher termos com mesmo coeficiente ou eliminar conjuntos vazios para escrever a função na forma canônica com menos termos, mas isso não é necessário: já basta que exista alguma representação finita na forma soma de indicadoras para concluir que a função é simples.

Passo 8

Prova de (4): composição h\circ f quando \operatorname{im} f\subset\operatorname{dom} h.
Escrevemos
f=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\,\chi_{A_i},\qquad h=\sum_{t=1}^{p}\gamma_t\,\chi_{C_t},
onde, como antes, os C_t são disjuntos e cobrem [c,d] (ou ao menos cobrem \operatorname{dom} h). Observe que cada \gamma_t é um valor que h assume exatamente sobre C_t:
h(y)=\gamma_t\quad\text{se }y\in C_t.
Agora considere os conjuntos pré-imagem
D_t := f^{-1}(C_t)=\{x\in[a,b]: f(x)\in C_t\},\qquad t=1,\dots,p.
Porque \operatorname{im} f\subset\operatorname{dom} h=\bigcup_{t=1}^p C_t, todo x\in[a,b] tem f(x)\in C_t para algum t, logo \bigcup_{t=1}^p D_t=[a,b]. Além disso, se t\neq t' então C_t\cap C_{t'}=\varnothing, daí D_t\cap D_{t'}=\varnothing. Portanto os D_t formam uma partição finita de [a,b].
Em D_t temos f(x)\in C_t, então h(f(x))=\gamma_t. Assim
h\circ f = \sum_{t=1}^{p}\gamma_t\,\chi_{D_t}.
É uma soma finita de constantes vezes indicadoras de conjuntos disjuntos que cobrem [a,b]. Logo h\circ f\in S([a,b]).
Comentário didático: a chave é que h tem poucos valores (finito) e cada valor corresponde a uma peça do domínio de h; ao puxar essas peças pela f (pré-imagem), reparti-se [a,b] em poucas peças onde h(f(x)) é constante.

Passo 9

Resumo final do raciocínio — reforço intuitivo: funções simples são fechadas sob multiplicação por escalar, soma, produto e composição (quando a imagem está no domínio), porque todas essas operações simplesmente combinam os valores finitos que as funções já tomam. A técnica prática em provas é representar as funções com indicadoras sobre conjuntos onde cada função é constante e então refinar a partição do domínio (por interseções ou pré-imagens) para obter uma representação finita da nova função.
Boa! Já mostramos cada item de forma construtiva — é exatamente o tipo de argumento que pedem em prova: exiba a representação com somas finitas de indicadoras.

Resposta

  1. k\cdot f\in S([a,b])
  2. f+g\in S([a,b])
  3. f\cdot g\in S([a,b])
  4. Se \operatorname{im} f\subset\operatorname{dom} h, então h\circ f\in S([a,b])

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