Exercício 166 (Avançado). Nos remetendo ao exercício 144 sobre funções simples, mostre que se
e
, então
- Se
é uma constante real, o mapa
é simples.
- A soma
destes mapas simples é simples.
- A multiplicação entre os mapas
é também simples.
- Mostre que se
e ambas são simples, então
é simples.
Passo 1
O enunciado pede que, dadas funções simples
e
, se mostre cada uma das quatro propriedades abaixo. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
-
e . Ou seja, cada uma toma apenas um número finito de valores em . -
. Ou seja, toma apenas um número finito de valores em . - Em (4) temos a hipótese adicional
.
O que se pede (quatro afirmações a provar):
- Para
constante, . -
. -
. - Se
, então .
Observações úteis (não resoluções ainda, só coisas dadas que vamos usar):
- Uma função simples é aquela que pode ser escrita como soma finita de constantes multiplicando funções indicadoras de conjuntos (ou seja, toma valores de um conjunto finito de números).
- A função indicadora de um conjunto
é se e se .
Passo 2
Definição e representação canônica de funções simples — armar a ferramenta que usaremos.
Se
então existe uma representação (podemos escolher uma que use conjuntos disjuntos que particionam
)
onde
, os
são os valores distintos que
assume, os conjuntos
são mutuamente disjuntos (
para
) e
. Analogamente, para
existe
com
,
,
disjuntos e
. Para
existe
com
,
,
disjuntos e
.
Explicando com calma: essa representação significa que em cada conjunto
a função
vale exatamente
. Usar conjuntos disjuntos que cobrem todo o domínio é prático porque evita contagens repetidas de pontos.
Passo 3
Prova de (1): multiplicação por constante.
Se
e
, então
Cada coeficiente
é um número real e os conjuntos
continuam sendo finitos em número e disjuntos; portanto
tem representação como soma finita de constantes vezes indicadoras. Logo
.
Comentário didático: multiplicar uma função que só assume os valores
por
produz uma função que só assume os valores
, um conjunto finito — por isso continua simples.
Passo 4
Prova de (2): soma de duas funções simples.
Começamos das representações
Considere os conjuntos
para
e
. Esses
conjuntos são mutuamente disjuntos (duas interseções diferentes
e
são disjuntas se
) e a união de todos eles é
Em cada conjunto
vale
e
; assim em
tem-se
Portanto
Isto é uma soma finita de constantes multiplicando indicadoras de conjuntos disjuntos que cobrem o domínio, então
.
Dica prática para prova em prova de faculdade: ao somar duas funções simples, refine a partição do domínio tomando todas as interseções das peças onde cada função é constante; nisso o somatório fica imediato.
Passo 5
Exemplo ilustrativo (pequena “aula concreta”): suponha
toma valores
em conjuntos
e
toma valores
em
. As interseções são quatro:
. Em cada uma delas
vale respectivamente
; são apenas quatro valores possíveis — finito — logo simples.
Passo 6
Prova de (3): produto de duas funções simples.
Usando novamente
nos mesmos conjuntos
temos que em
vale
e
, logo
Portanto
Novamente é uma soma finita de constantes vezes indicadoras de conjuntos disjuntos que cobrem
, logo
.
Comentário didático: a ideia é a mesma da soma — ao multiplicar, cada combinação de valores possíveis de
e
dá um valor possível do produto; como há apenas um número finito de combinações, o produto toma apenas valores de um conjunto finito.
Passo 7
Observação sobre simplificação: em todas as representações obtidas para
e
pode haver alguns coeficientes repetidos ou alguns conjuntos
vazios; é sempre possível recolher termos com mesmo coeficiente ou eliminar conjuntos vazios para escrever a função na forma canônica com menos termos, mas isso não é necessário: já basta que exista alguma representação finita na forma soma de indicadoras para concluir que a função é simples.
Passo 8
Prova de (4): composição
quando
.
Escrevemos
onde, como antes, os
são disjuntos e cobrem
(ou ao menos cobrem
). Observe que cada
é um valor que
assume exatamente sobre
:
Agora considere os conjuntos pré-imagem
Porque
, todo
tem
para algum
, logo
. Além disso, se
então
, daí
. Portanto os
formam uma partição finita de
.
Em
temos
, então
. Assim
É uma soma finita de constantes vezes indicadoras de conjuntos disjuntos que cobrem
. Logo
.
Comentário didático: a chave é que
tem poucos valores (finito) e cada valor corresponde a uma peça do domínio de
; ao puxar essas peças pela
(pré-imagem), reparti-se
em poucas peças onde
é constante.
Passo 9
Resumo final do raciocínio — reforço intuitivo: funções simples são fechadas sob multiplicação por escalar, soma, produto e composição (quando a imagem está no domínio), porque todas essas operações simplesmente combinam os valores finitos que as funções já tomam. A técnica prática em provas é representar as funções com indicadoras sobre conjuntos onde cada função é constante e então refinar a partição do domínio (por interseções ou pré-imagens) para obter uma representação finita da nova função.
Boa! Já mostramos cada item de forma construtiva — é exatamente o tipo de argumento que pedem em prova: exiba a representação com somas finitas de indicadoras.
Resposta
-
-
-
- Se
, então