Exercício 179. Fixe
e, para
, considere
e defina a composição
Qual alternativa descreve corretamente
?
-
.
- O limite não existe, pois arctan é limitada.
-
.
- O limite se aproxima de
pela esquerda.
-
, pois
e arctan e ln tem assíntota em
.
Passo 1
O enunciado dá, para
,
e define a composição
A pergunta é: qual alternativa descreve corretamente
? Foram dadas cinco alternativas numeradas de 1 a 5; preciso escolher a correta.
Passo 2
Estudar primeiro o comportamento de
quando
. Para
temos
. Quando
a quantidade
tende a
. Então
Ou seja,
Explicando devagar: o denominador fica cada vez menor e positivo, por isso o quociente cresce sem limite.
Passo 3
Agora considere
quando
. Sabemos que
quando
. Como
e
, o produto também tende a
. Formalmente,
Uma explicação intuitiva: mesmo que
cresça devagar, ele cresce sem limite, e multiplicado por
(que também cresce sem limite) o resultado cresce sem limite ainda mais rápido.
Passo 4
Aplicando o resultado do Passo 2 na função
: como
quando
, substituindo em
obtemos
Ou seja, a composição interna
tende a
quando
.
Passo 5
Finalmente, analisar
quando
. É um fato clássico que
Além disso,
é estritamente crescente e tem
para todo
. Portanto, quando
cresce sem limite,
aproxima-se de
por valores menores do que
(isto é, pela esquerda no eixo real). Aplicando isso à nossa composição, com
, segue que
e os valores de
ficam sempre menores que
quando
suficientemente próximo de
. Em linguagem da alternativa: o limite se aproxima de
pela esquerda.
Passo 6
Breve comentário sobre as alternativas erradas (só para fechar o raciocínio):
- (1) diz
, ou seja, aproximando-se por valores MAIORES que ; isso é falso porque sempre, logo aproxima-se por abaixo. - (2) afirma que o limite não existe porque
é limitada; isso é confusão: ser limitada não impede existir o limite (aqui existe e é ). - (3) sugere
, que é diferente de — além disso não é aplicada a infinito assim; incorreto. - (5) afirma limite
e dá justificativa errada; também incorreto.
Resposta
- O limite se aproxima de
pela esquerda.