Exercício 179. Fixe a \in \mathbb{R} e, para x<a, considere
g_{1}(x)=\frac{1}{(a-x)^{2}}, \quad g_{2}(u)=u \ln (1+u), \quad g_{3}(v)=\arctan (v),
e defina a composição
F(x) \doteq g_{3}\left(g_{2}\left(g_{1}(x)\right)\right)
Qual alternativa descreve corretamente \lim _{x \rightarrow a^{-}} F(x) ?
  1. \lim _{x \rightarrow a^{-}} F(x)=(\pi / 2)^{+}.
  2. O limite não existe, pois arctan é limitada.
  3. \lim _{x \rightarrow a^{-}} F(x)=g_{3}\left(\frac{\pi}{2}\right).
  4. O limite se aproxima de \frac{\pi}{2} pela esquerda.
  5. \lim _{x \rightarrow a^{-}} F(x)=0, pois g_{1} \rightarrow+\infty e arctan e ln tem assíntota em y=0.

Passo 1

O enunciado dá, para x<a,
g_{1}(x)=\frac{1}{(a-x)^{2}},\qquad g_{2}(u)=u\ln(1+u),\qquad g_{3}(v)=\arctan(v),
e define a composição
F(x)\doteq g_{3}\bigl(g_{2}(g_{1}(x))\bigr).
A pergunta é: qual alternativa descreve corretamente \displaystyle \lim_{x\to a^{-}}F(x)? Foram dadas cinco alternativas numeradas de 1 a 5; preciso escolher a correta.

Passo 2

Estudar primeiro o comportamento de g_{1} quando x\to a^{-}. Para x<a temos a-x>0. Quando x\to a^{-} a quantidade a-x tende a 0^{+}. Então
\frac{1}{(a-x)^{2}}\to +\infty.
Ou seja,
\lim_{x\to a^{-}} g_{1}(x)=+\infty.
Explicando devagar: o denominador fica cada vez menor e positivo, por isso o quociente cresce sem limite.

Passo 3

Agora considere g_{2}(u)=u\ln(1+u) quando u\to +\infty. Sabemos que \ln(1+u)\to +\infty quando u\to +\infty. Como u\to +\infty e \ln(1+u)\to +\infty, o produto também tende a +\infty. Formalmente,
\lim_{u\to+\infty} u\ln(1+u)=+\infty.
Uma explicação intuitiva: mesmo que \ln(1+u) cresça devagar, ele cresce sem limite, e multiplicado por u (que também cresce sem limite) o resultado cresce sem limite ainda mais rápido.

Passo 4

Aplicando o resultado do Passo 2 na função g_{2}: como g_{1}(x)\to+\infty quando x\to a^{-}, substituindo em g_{2} obtemos
\lim_{x\to a^{-}} g_{2}\bigl(g_{1}(x)\bigr)=\lim_{u\to+\infty} u\ln(1+u)=+\infty.
Ou seja, a composição interna v(x)\doteq g_{2}(g_{1}(x)) tende a +\infty quando x\to a^{-}.

Passo 5

Finalmente, analisar g_{3}(v)=\arctan(v) quando v\to +\infty. É um fato clássico que
\lim_{v\to+\infty}\arctan(v)=\frac{\pi}{2}.
Além disso, \arctan é estritamente crescente e tem \arctan(v)<\frac{\pi}{2} para todo v\in\mathbb{R}. Portanto, quando v cresce sem limite, \arctan(v) aproxima-se de \frac{\pi}{2} por valores menores do que \frac{\pi}{2} (isto é, pela esquerda no eixo real). Aplicando isso à nossa composição, com v(x)=g_{2}(g_{1}(x))\to+\infty, segue que
\lim_{x\to a^{-}} F(x)=\lim_{v\to+\infty}\arctan(v)=\frac{\pi}{2},
e os valores de F(x) ficam sempre menores que \frac{\pi}{2} quando x<a suficientemente próximo de a. Em linguagem da alternativa: o limite se aproxima de \dfrac{\pi}{2} pela esquerda.

Passo 6

Breve comentário sobre as alternativas erradas (só para fechar o raciocínio):
  • (1) diz \left(\pi/2\right)^{+}, ou seja, aproximando-se por valores MAIORES que \pi/2; isso é falso porque \arctan(v)<\pi/2 sempre, logo aproxima-se por abaixo.
  • (2) afirma que o limite não existe porque \arctan é limitada; isso é confusão: ser limitada não impede existir o limite (aqui existe e é \pi/2).
  • (3) sugere \lim F(x)=g_{3}(\pi/2)=\arctan(\pi/2), que é diferente de \pi/2 — além disso g_{3} não é aplicada a infinito assim; incorreto.
  • (5) afirma limite 0 e dá justificativa errada; também incorreto.

Resposta

  1. O limite se aproxima de \dfrac{\pi}{2} pela esquerda.

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