Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o limite
. - Desenhar (identificar) as assíntotas verticais, quando existirem.
As informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
O que acontece quando o denominador de uma fração tende a zero enquanto o numerador tende a um número diferente de zero?
Se o numerador tende a um valor finito não nulo e o denominador tende a , a razão em módulo cresce sem limite e, dependendo do sinal do denominador, tende a
ou
. Por isso é importante analisar os limites laterais (à esquerda e à direita de
) para saber o sinal da divergência.
Se o numerador tende a um valor finito não nulo e o denominador tende a
Passo 3
Calcular as limitações simples:
Como o numerador tende a
(um número finito e não zero) e o denominador tende a
, a expressão tem comportamento de divergência (tende a infinito em módulo). Agora precisamos analisar o sinal dessa divergência (ou seja, os limites laterais).
Passo 4
Para facilitar a análise de sinal perto de
, fazemos uma manipulação algébrica:
Essa forma deixa explícito que o comportamento de
quando
se aproxima de
é dominado por
.
Passo 5
Faça a substituição
. Quando
temos
e
Agora analisa-se
e
:
- Se
(ou seja, ), então . Logo
- Se
(ou seja, ), então . Logo
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (
à direita e
à esquerda), o limite bilateral
não existe no sentido finito. Em termos ampliados, diz-se que a função diverge para infinito com sinais opostos nas duas direções.
Passo 7
Definição prática de assíntota vertical: uma reta
é assíntota vertical de
se pelo menos uma das limites
ou
for
ou
. Aqui obtivemos
e
, portanto existe uma assíntota vertical em
.
Passo 8
Como desenhar qualitativamente as assíntotas verticais (instrução para a prova):
- Trace a reta vertical
. - Para
muito próximo de , a curva desce para (vai para baixo). - Para
muito próximo de , a curva sobe para (vai para cima). - Para completar o esboço rápido, pode-se observar que para
longe de a função tende a (ou seja, é uma assíntota horizontal), mas isso não é pedido; o essencial é a reta vertical com os comportamentos laterais descritos.
Passo 9
Resumo das conclusões (preparando a resposta final): limites laterais e existência da assíntota vertical em
.
Resposta
Assíntota vertical: