Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o limite \lim_{x\to1}\dfrac{x+1}{x-1}.
  • Desenhar (identificar) as assíntotas verticais, quando existirem.
As informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}.
  • O ponto de interesse é x\to1.

Passo 2

O que acontece quando o denominador de uma fração tende a zero enquanto o numerador tende a um número diferente de zero?
Se o numerador tende a um valor finito não nulo e o denominador tende a 0, a razão em módulo cresce sem limite e, dependendo do sinal do denominador, tende a +\infty ou -\infty. Por isso é importante analisar os limites laterais (à esquerda e à direita de 1) para saber o sinal da divergência.

Passo 3

Calcular as limitações simples:
\lim_{x\to1}(x+1)=2, \qquad \lim_{x\to1}(x-1)=0.
Como o numerador tende a 2 (um número finito e não zero) e o denominador tende a 0, a expressão tem comportamento de divergência (tende a infinito em módulo). Agora precisamos analisar o sinal dessa divergência (ou seja, os limites laterais).

Passo 4

Para facilitar a análise de sinal perto de x=1, fazemos uma manipulação algébrica:
\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}.
Essa forma deixa explícito que o comportamento de \dfrac{x+1}{x-1} quando x se aproxima de 1 é dominado por \dfrac{2}{x-1}.

Passo 5

Faça a substituição h=x-1. Quando x\to1 temos h\to0 e
\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{h}.
Agora analisa-se h\to0^- e h\to0^+:
  • Se h\to0^+ (ou seja, x\to1^+), então \dfrac{2}{h}\to +\infty. Logo
\lim_{x\to1^+}\frac{x+1}{x-1}=+\infty.
  • Se h\to0^- (ou seja, x\to1^-), então \dfrac{2}{h}\to -\infty. Logo
\lim_{x\to1^-}\frac{x+1}{x-1}=-\infty.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( +\infty à direita e -\infty à esquerda), o limite bilateral \lim_{x\to1}\dfrac{x+1}{x-1} não existe no sentido finito. Em termos ampliados, diz-se que a função diverge para infinito com sinais opostos nas duas direções.

Passo 7

Definição prática de assíntota vertical: uma reta x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites \lim_{x\to a^-} f(x) ou \lim_{x\to a^+} f(x) for +\infty ou -\infty. Aqui obtivemos \lim_{x\to1^-} f(x)=-\infty e \lim_{x\to1^+} f(x)=+\infty, portanto existe uma assíntota vertical em x=1.

Passo 8

Como desenhar qualitativamente as assíntotas verticais (instrução para a prova):
  • Trace a reta vertical x=1.
  • Para x<1 muito próximo de 1, a curva desce para -\infty (vai para baixo).
  • Para x>1 muito próximo de 1, a curva sobe para +\infty (vai para cima).
  • Para completar o esboço rápido, pode-se observar que para x longe de 1 a função tende a 1 (ou seja, y=1 é uma assíntota horizontal), mas isso não é pedido; o essencial é a reta vertical x=1 com os comportamentos laterais descritos.

Passo 9

Resumo das conclusões (preparando a resposta final): limites laterais e existência da assíntota vertical em x=1.

Resposta

\lim_{x\to1^-}\dfrac{x+1}{x-1}=-\infty
\lim_{x\to1^+}\dfrac{x+1}{x-1}=+\infty
Assíntota vertical: x=1

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