[Exercício 1.17, 118] Dada uma matriz quadrada A, denotamos por
A_{+} \equiv \frac{A+A^{t}}{2} e A_{-} \equiv \frac{A-A^{t}}{2}. Sejam D e S matrizes simétrica e anti-simétrica, respectivamente. Concernente às proposições abaixo:
  1. \exists B \neq A_{+} ; A=B+A_{-}
  2. \exists C \neq A_{-} ; A=A_{+}+C
  3. D^{2} é simétrica
  4. S^{2} é simétrica
  5. D S+S D é simétrica.
Assinale a sequência correta de valores lógicos.
(a) (F F V V F)
(b) ( V F F V V )
(c) (V F V F F)
(d) (V F V F F)
(e) (F F V V F).

Passo 1

O enunciado define para uma matriz quadrada A as partes simétrica e antissimétrica:
A_{+} = \frac{A + A^{t}}{2}, \qquad A_{-} = \frac{A - A^{t}}{2}.
Além disso, D é qualquer matriz simétrica D^{t}=D e S é qualquer matriz antissimétrica S^{t}=-S. Precisamos avaliar a veracidade das cinco proposições e montar o vetor de valores lógicos correspondente.

Passo 2

Proposição 1: “ \exists B \neq A_{+} tal que A = B + A_{-}.”
Se quisermos escrever A como soma de uma matriz qualquer B mais A_{-}, então
B = A - A_{-}.
Mas A - A_{-} = A_{+} por definição única da decomposição A = A_{+} + A_{-}. Logo não existe B\neq A_{+} satisfazendo isso. Proposição 1 é falsa.

Passo 3

Proposição 2: “ \exists C \neq A_{-} tal que A = A_{+} + C.”
Analogamente, se A = A_{+} + C então
C = A - A_{+} = A_{-},
única escolha. Logo não há C\neq A_{-}. Proposição 2 é falsa.

Passo 4

Proposição 3: “ D^{2} é simétrica.”
Como D é simétrica, D^{t}=D. Então
(D^{2})^{t} = (D\,D)^{t} = D^{t}\,D^{t} = D\,D = D^{2},
o que mostra que D^{2} é simétrica. Proposição 3 é verdadeira.

Passo 5

Proposição 4: “ S^{2} é simétrica.”
Como S é antissimétrica, S^{t}=-S. Então
(S^{2})^{t} = (S\,S)^{t} = S^{t}\,S^{t} = (-S)(-S) = S^{2},
logo S^{2} também é simétrica. Proposição 4 é verdadeira.

Passo 6

Proposição 5: “ D S + S D é simétrica.”
Considere X = D S + S D. Então
X^{t} = (D S + S D)^{t} = S^{t}D^{t} + D^{t}S^{t} = (-S)D + D(-S) = -\bigl(S D + D S\bigr) = -X.
Isso mostra que X é antissimétrico, não simétrico, salvo caso trivial. Proposição 5 é falsa.

Resposta

(a) (F\\ F\\ V\\ V\\ F)

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