[Exercício 1.17, 118] Dada uma matriz quadrada
, denotamos por
e
. Sejam
e
matrizes simétrica e anti-simétrica, respectivamente. Concernente às proposições abaixo:
-
-
-
é simétrica
-
é simétrica
-
é simétrica.
Assinale a sequência correta de valores lógicos.
(a)
(b) (
)
(c)
(d)
(e)
.
(a)
(b) (
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado define para uma matriz quadrada
as partes simétrica e antissimétrica:
Além disso,
é qualquer matriz simétrica
e
é qualquer matriz antissimétrica
. Precisamos avaliar a veracidade das cinco proposições e montar o vetor de valores lógicos correspondente.
Passo 2
Proposição 1: “
tal que
.”
Se quisermos escrever como soma de uma matriz qualquer
mais
, então
Se quisermos escrever
Mas
por definição única da decomposição
. Logo não existe
satisfazendo isso. Proposição 1 é falsa.
Passo 3
Proposição 2: “
tal que
.”
Analogamente, se então
Analogamente, se
única escolha. Logo não há
. Proposição 2 é falsa.
Passo 4
Proposição 3: “
é simétrica.”
Como é simétrica,
. Então
Como
o que mostra que
é simétrica. Proposição 3 é verdadeira.
Passo 5
Proposição 4: “
é simétrica.”
Como é antissimétrica,
. Então
Como
logo
também é simétrica. Proposição 4 é verdadeira.
Passo 6
Proposição 5: “
é simétrica.”
Considere . Então
Considere
Isso mostra que
é antissimétrico, não simétrico, salvo caso trivial. Proposição 5 é falsa.
Resposta
(a)