[Exercício 1.6] Concernente às proposições abaixo:
  1. (-A)(-B)=-(A B);
  2. Se A e B são matrizes simétricas, então A B=B A;
  3. Se A B=O, então B A=O;
  4. Se podemos efetuar o produto A A, então A é uma matriz quadrada. assinale a sequência correta de valores lógicos.
    (a) ( V V V V )
    (b) (V F V F)
    (c) (F V F V)
    (d) (V V F V)
    (e) (V F V V).

Passo 1

O enunciado pede para julgar a veracidade destas quatro proposições sobre matrizes e depois escolher, entre as opções (a) a (e), a sequência de valores lógicos. Vamos usar propriedades usuais de álgebra de matrizes e contra-exemplos para avaliar cada proposição.

Passo 2

Proposição 1: (-A)(-B)=-(A B).
Como -A=(-1)A e -B=(-1)B, temos
(-A)(-B) = (-1)A\;(-1)B = (-1)\cdot(-1)\,(AB) = (+1)\,(AB)=AB,
enquanto
-(AB)=(-1)(AB)=-AB.
Logo (-A)(-B)=AB\neq -AB em geral, e a proposição é falsa.

Passo 3

Proposição 2: Se A e B são matrizes simétricas, então AB=BA.
Embora simetria garanta A^T=A e B^T=B, não há, em geral, comutatividade de matrizes simétricas. Por exemplo,
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
são ambas simétricas, mas
AB=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}=BA.
Logo, a proposição é falsa.

Passo 4

Proposição 3: Se AB=O, então BA=O.
Também é falso em geral. Um contra-exemplo em 2\times2 é
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Calcula-se
AB=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}=O,
porém
BA=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\neq O.
Logo, a proposição é falsa.

Passo 5

Proposição 4: Se podemos efetuar o produto A\,A, então A é uma matriz quadrada.
Para que A (de tamanho m\times n) multiplique a si própria, é preciso n=m. Portanto A deve ser quadrada. Essa proposição é verdadeira.

Resposta

Não existe entre as alternativas dadas [(a)–(e)] aquela que corresponda ao vetor de valores lógicos (F,F,F,V).

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