[Exercício 1.6] Concernente às proposições abaixo:
-
;
- Se
e
são matrizes simétricas, então
;
- Se
, então
;
- Se podemos efetuar o produto
, então
é uma matriz quadrada. assinale a sequência correta de valores lógicos.
(a) (
)
(b)
(c)
(d)
(e)
.
(a) (
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para julgar a veracidade destas quatro proposições sobre matrizes e depois escolher, entre as opções (a) a (e), a sequência de valores lógicos. Vamos usar propriedades usuais de álgebra de matrizes e contra-exemplos para avaliar cada proposição.
Passo 2
Proposição 1:
.
Como e
, temos
Como
enquanto
Logo
em geral, e a proposição é falsa.
Passo 3
Proposição 2: Se
e
são matrizes simétricas, então
.
Embora simetria garanta e
, não há, em geral, comutatividade de matrizes simétricas. Por exemplo,
Embora simetria garanta
são ambas simétricas, mas
Logo, a proposição é falsa.
Passo 4
Proposição 3: Se
, então
.
Também é falso em geral. Um contra-exemplo em é
Também é falso em geral. Um contra-exemplo em
Calcula-se
porém
Logo, a proposição é falsa.
Passo 5
Proposição 4: Se podemos efetuar o produto
, então
é uma matriz quadrada.
Para que (de tamanho
) multiplique a si própria, é preciso
. Portanto
deve ser quadrada. Essa proposição é verdadeira.
Para que
Resposta
Não existe entre as alternativas dadas [(a)–(e)] aquela que corresponda ao vetor de valores lógicos
.