[Exercício 1.16, 117] Dada uma matriz quadrada
, denotamos por
e
. Sejam
e
matrizes simétrica e anti-simétrica, respectivamente. Concernente às proposições abaixo:
-
é simétrica
-
é simétrica
-
e
são simétricas
-
-
.
Assinale a sequência correta de valores lógicos.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma matriz quadrada
e definimos
Além disso,
é simétrica
e
é antissimétrica
. Precisamos testar a veracidade das cinco proposições dadas.
Passo 2
Proposição 1: “
é simétrica.” Como
é simétrica, temos
logo
é de fato simétrica. Portanto a proposição 1 é verdadeira.
Passo 3
Proposição 2: “
é simétrica.” Como
é antissimétrica,
em geral. Logo
não é simétrica, e a proposição 2 é falsa.
Passo 4
Proposição 3: “
e
são simétricas.” Já que
então
é antissimétrica e não simétrica. Como nem ambos são simétricos, a proposição 3 é falsa.
Passo 5
Proposição 4: “
.” Acabamos de mostrar acima que isso vale, pois
. Então a proposição 4 é verdadeira.
Passo 6
Proposição 5: “
.” Como vimos,
, não podendo ser igual a
em geral. Logo a proposição 5 é falsa.
Resposta
(b)