[Exercício 1.16, 117] Dada uma matriz quadrada A, denotamos por A_{+} \equiv \frac{A+A^{t}}{2} e A_{-} \equiv \frac{A-A^{t}}{2}. Sejam D e S matrizes simétrica e anti-simétrica, respectivamente. Concernente às proposições abaixo:
  1. D+D é simétrica
  2. S+S é simétrica
  3. A_{+}e A_{-}são simétricas
  4. A_{+}^{t}=A_{+}
  5. A_{-}^{t}=A_{-}.
Assinale a sequência correta de valores lógicos.
(a) (F V V F F)
(b) (V F F V F)
(c) (V F V F V)
(d) (V F V F F)
(e) (V F V V F).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma matriz quadrada A e definimos
A_{+} = \frac{A + A^{t}}{2}, \quad A_{-} = \frac{A - A^{t}}{2}.
Além disso, D é simétrica D^{t}=D e S é antissimétrica S^{t}=-S. Precisamos testar a veracidade das cinco proposições dadas.

Passo 2

Proposição 1: “ D+D é simétrica.” Como D é simétrica, temos
(D+D)^{t} = D^{t} + D^{t} = D + D = D+D,
logo D+D é de fato simétrica. Portanto a proposição 1 é verdadeira.

Passo 3

Proposição 2: “ S+S é simétrica.” Como S é antissimétrica,
(S+S)^{t} = S^{t} + S^{t} = -S + (-S) = -2S \neq 2S = S+S
em geral. Logo S+S não é simétrica, e a proposição 2 é falsa.

Passo 4

Proposição 3: “ A_{+} e A_{-} são simétricas.” Já que
A_{+}^{t} = \biggl(\frac{A + A^{t}}{2}\biggr)^{t} = \frac{A^{t} + (A^{t})^{t}}{2} = \frac{A^{t} + A}{2} = A_{+}, A_{+} é simétrica. Mas
A_{-}^{t} = \biggl(\frac{A - A^{t}}{2}\biggr)^{t} = \frac{A^{t} - A}{2} = -\,\frac{A - A^{t}}{2} = -A_{-},
então A_{-} é antissimétrica e não simétrica. Como nem ambos são simétricos, a proposição 3 é falsa.

Passo 5

Proposição 4: “ A_{+}^{t}=A_{+}.” Acabamos de mostrar acima que isso vale, pois \displaystyle A_{+}^{t}=A_{+}. Então a proposição 4 é verdadeira.

Passo 6

Proposição 5: “ A_{-}^{t}=A_{-}.” Como vimos, \displaystyle A_{-}^{t}=-A_{-}, não podendo ser igual a A_{-} em geral. Logo a proposição 5 é falsa.

Resposta

(b) (V\;F\;F\;V\;F)

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