Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-1}^{1} e^{-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} e^{-3 x}\, dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=e^{-3x}.
  • Os limites de integração são a=-1 e b=1.
    O que se pede: o valor numérico (exato) da integral definida acima.

Passo 2

Lembrete teórico (Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática):
Se F é uma antiderivada de f em um intervalo que contém [a,b], isto é, se F'(x)=f(x) para todo x no intervalo, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Ou seja: para calcular uma integral definida, basta encontrar uma antiderivada F de f e avaliar F nos extremos.

Passo 3

Encontrar uma antiderivada de f(x)=e^{kx} em geral:
  • Pela regra da cadeia, a derivada de e^{kx} é k e^{kx}, porque ao derivar e^{u(x)} tem-se u'(x)e^{u(x)} e aqui u(x)=kx tem u'(x)=k.
  • Logo, se derivarmos \dfrac{1}{k}e^{kx} obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right)=\frac{1}{k}\cdot k e^{kx}=e^{kx}.
Portanto uma antiderivada de e^{kx} é \dfrac{1}{k}e^{kx} (para k\neq 0).
No nosso caso k=-3. Assim uma antiderivada de e^{-3x} é
F(x)=\frac{1}{-3}e^{-3x}=-\frac{1}{3}e^{-3x}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{1} e^{-3x}\,dx = F(1)-F(-1)
com F(x)=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}. Agora calculo cada termo:
F(1)=-\frac{1}{3}e^{-3\cdot 1}=-\frac{1}{3}e^{-3},
F(-1)=-\frac{1}{3}e^{-3\cdot(-1)}=-\frac{1}{3}e^{3}.
Subtraindo:
F(1)-F(-1) = -\frac{1}{3}e^{-3} -\left(-\frac{1}{3}e^{3}\right) = -\frac{1}{3}e^{-3} +\frac{1}{3}e^{3}.
Fatorando \dfrac{1}{3}:
\int_{-1}^{1} e^{-3x}\,dx = \frac{1}{3}\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr).

Passo 5

Interpretação/formas alternativas e aproximação numérica (opcional):
  • A forma \dfrac{1}{3}\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr) também pode ser escrita como \dfrac{2}{3}\operatorname{sinh}(3), porque \operatorname{sinh}(3)=\dfrac{e^{3}-e^{-3}}{2}.
  • Aproximação numérica: e^{3}\approx 20,085537 e e^{-3}\approx 0,049787, então
\int_{-1}^{1} e^{-3x}\,dx \approx 6,6786.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr)

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