Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
e .
O que se pede: o valor numérico (exato) da integral definida acima.
Passo 2
Lembrete teórico (Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática):
Se é uma antiderivada de
em um intervalo que contém
, isto é, se
para todo
no intervalo, então
Se
Ou seja: para calcular uma integral definida, basta encontrar uma antiderivada
de
e avaliar
nos extremos.
Passo 3
Encontrar uma antiderivada de
em geral:
- Pela regra da cadeia, a derivada de
é , porque ao derivar tem-se e aqui tem . - Logo, se derivarmos
obtemos
Portanto uma antiderivada de
é
(para
).
No nosso caso
. Assim uma antiderivada de
é
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
com
. Agora calculo cada termo:
Subtraindo:
Fatorando
:
Passo 5
Interpretação/formas alternativas e aproximação numérica (opcional):
- A forma
também pode ser escrita como , porque . - Aproximação numérica:
e , então