Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3} \cos (2 x) d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o integral definido \displaystyle \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \cos(2x)\,dx.
  • Pede calcular esse número real (usar o Teorema Fundamental do Cálculo).
Informações relevantes: os limites de integração são a=-\pi/3 e b=\pi/3; a função integranda é f(x)=\cos(2x).

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (versão útil para calcular integrais):
Se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f em [a,b], isto é, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui \cos(2x) é contínua em todo \mathbb{R}, então basta achar uma primitiva F e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Achar uma primitiva de \cos(2x). Vou usar a regra da cadeia/derivação: a derivada de \sin(2x) é
\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)=2\cos(2x).
Portanto \sin(2x) não é exatamente a primitiva, mas \dfrac{1}{2}\sin(2x) é. Concluímos que uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{2}\sin(2x),
pois F'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x).

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular F(b)-F(a) com a=-\pi/3, b=\pi/3 e F(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x).
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos(2x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin\!\left(2\cdot\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\sin\!\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).
Calcule os senos: \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, e \sin\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo:
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Comentário didático extra (atalho útil na prova): \cos(2x) é uma função par (isto é, \cos(2(-x))=\cos(2x)), então a integral em um intervalo simétrico [-a,a] vale o dobro da integral de 0 a a:
\int_{-a}^{a}\cos(2x)\,dx = 2\int_{0}^{a}\cos(2x)\,dx.
Se a=\pi/3, então
2\int_{0}^{\pi/3}\cos(2x)\,dx = 2\left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\pi/3} = \left[\sin(2x)\right]_{0}^{\pi/3} = \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)-\sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}-0 = \frac{\sqrt{3}}{2},
confirmando o resultado anterior. Esse atalho evita escrever os dois termos simetricamente e pode poupar tempo.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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