Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o integral definido
. - Pede calcular esse número real (usar o Teorema Fundamental do Cálculo).
Informações relevantes: os limites de integração são
e
; a função integranda é
.
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (versão útil para calcular integrais):
Se é contínua em
e
é uma primitiva (antiderivada) de
em
, isto é,
para todo
em
, então
Se
Aqui
é contínua em todo
, então basta achar uma primitiva
e aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Achar uma primitiva de
. Vou usar a regra da cadeia/derivação: a derivada de
é
Portanto
não é exatamente a primitiva, mas
é. Concluímos que uma primitiva é
pois
.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
com
,
e
.
Calcule os senos:
, e
. Substituindo:
Passo 5
Comentário didático extra (atalho útil na prova):
é uma função par (isto é,
), então a integral em um intervalo simétrico
vale o dobro da integral de
a
:
Se
, então
confirmando o resultado anterior. Esse atalho evita escrever os dois termos simetricamente e pode poupar tempo.