Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-1}^{2} x\left(2+x^{5}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} x\left(2+x^{5}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x\left(2+x^{5}\right).
  • Os limites de integração são a=-1 e b=2.
    Pergunta: calcular o valor numérico de \displaystyle\int_{-1}^{2} x\left(2+x^{5}\right)\,dx.

Passo 2

Planejamento (ferramentas que vamos usar).
  • Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui): se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Linearidade da integral: para quaisquer constantes c_1,c_2 e funções f,g,
\int (c_1 f + c_2 g) = c_1\int f + c_2\int g.
  • Regra da potência (primitiva): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Vou aplicar essas ideias: primeiro simplificar o integrando, depois achar uma primitiva F(x) usando a regra da potência, e por fim avaliar F(2)-F(-1).

Passo 3

Simplificar o integrando multiplicando:
x\left(2+x^{5}\right) = 2x + x^{6}.
Então queremos calcular
\int_{-1}^{2} \left(2x + x^{6}\right)\,dx.

Passo 4

Encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=2x+x^{6} termo a termo.
  • Para \displaystyle\int 2x\,dx: usar linearidade e a regra da potência com n=1. \int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
  • Para \displaystyle\int x^{6}\,dx: usar a regra da potência com n=6. \int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}.
Somando as primitivas:
F(x) = x^{2} + \frac{x^{7}}{7} + C.
Para integrar definida, o +C não importa; podemos tomar F(x)=x^{2}+\dfrac{x^{7}}{7}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{2} \left(2x + x^{6}\right)\,dx = F(2)-F(-1),
onde F(x)=x^{2}+\dfrac{x^{7}}{7}.
Calcular F(2):
F(2)=2^{2}+\frac{2^{7}}{7}=4+\frac{128}{7}=\frac{28}{7}+\frac{128}{7}=\frac{156}{7}.
Calcular F(-1):
F(-1)=(-1)^{2}+\frac{(-1)^{7}}{7}=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}.
Fazer a diferença:
F(2)-F(-1)=\frac{156}{7}-\frac{6}{7}=\frac{150}{7}.

Passo 6

Verificação rápida (confere se a primitiva está correta):
\frac{d}{dx}\!\left(x^{2}+\frac{x^{7}}{7}\right)=2x + x^{6},
que é exatamente o integrando. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{150}{7}

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