Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
Pergunta: calcular o valor numérico de.
Passo 2
Planejamento (ferramentas que vamos usar).
- Teorema Fundamental do Cálculo (parte usada aqui): se
é uma primitiva de (ou seja, ), então
- Linearidade da integral: para quaisquer constantes
e funções ,
- Regra da potência (primitiva): para
,
Vou aplicar essas ideias: primeiro simplificar o integrando, depois achar uma primitiva
usando a regra da potência, e por fim avaliar
.
Passo 3
Simplificar o integrando multiplicando:
Então queremos calcular
Passo 4
Encontrar uma primitiva
de
termo a termo.
- Para
: usar linearidade e a regra da potência com . - Para
: usar a regra da potência com .
Somando as primitivas:
Para integrar definida, o
não importa; podemos tomar
.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
onde
.
Calcular
:
Calcular
:
Fazer a diferença:
Passo 6
Verificação rápida (confere se a primitiva está correta):
que é exatamente o integrando. Tudo consistente.