Exercício 17.0.1. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{3 k-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{3k-1}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma.\n
Informações dadas:
  • A soma é uma série numérica a partir de k=2 até o infinito.
  • O termo geral da série é a_k=\dfrac{k-1}{3k-1}.
  • Não há outras informações (como termos telescópicos explícitos ou fatorizações dadas).

Passo 2

Conceito importante (teste necessário): para que uma série \sum_{k=1}^{\infty} a_k seja convergente é necessário (condição necessária) que
\lim_{k\to\infty} a_k = 0.
Explicação curta do porquê: se os somatórios parciais S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k convergem para um limite S, então a_n=S_n-S_{n-1} e, ao fazer n\to\infty, ambos S_n e S_{n-1} tendem a S, logo a_n\to 0. Portanto, se \lim_{k\to\infty} a_k \neq 0, a série não pode convergir.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral a_k=\dfrac{k-1}{3k-1} quando k\to\infty. Dividimos numerador e denominador por k:
\frac{k-1}{3k-1}=\frac{1-\dfrac{1}{k}}{3-\dfrac{1}{k}}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty. Como \dfrac{1}{k}\to 0, obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{k-1}{3k-1}=\frac{1-0}{3-0}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Aplicando o teste necessário do Passo 2: vimos que
\lim_{k\to\infty} a_k=\frac{1}{3}\neq 0.
Portanto a série \sum_{k=2}^{\infty} a_k não pode convergir. Intuição final: os termos não vão para zero, são assimptoticamente iguais a \dfrac{1}{3}, então somar infinitely muitos desses termos faz a soma divergir (crescer sem limite).

Resposta

Divergente

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