Exercício 17.0.1. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A soma é uma série numérica a partir de
até o infinito. - O termo geral da série é
. - Não há outras informações (como termos telescópicos explícitos ou fatorizações dadas).
Passo 2
Conceito importante (teste necessário): para que uma série
seja convergente é necessário (condição necessária) que
Explicação curta do porquê: se os somatórios parciais
convergem para um limite
, então
e, ao fazer
, ambos
e
tendem a
, logo
. Portanto, se
, a série não pode convergir.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral
quando
. Dividimos numerador e denominador por
:
Agora tomamos o limite quando
. Como
, obtemos
Passo 4
Aplicando o teste necessário do Passo 2: vimos que
Portanto a série
não pode convergir. Intuição final: os termos não vão para zero, são assimptoticamente iguais a
, então somar infinitely muitos desses termos faz a soma divergir (crescer sem limite).
Resposta
Divergente