Passo 1
O enunciado dá a soma da série infinita
e pede que a gente encontre o valor dessa soma (ou seja, o somatório infinito). Informações relevantes: a série tem termo geral
iniciando em
. Nada mais foi pedido explicitamente além de calcular essa soma.
Passo 2
Fatoramos a constante
para fora da soma usando a linearidade das séries. Primeiro vou explicar o que isto significa. Se
converge, então para qualquer constante
a série
também converge e vale
vezes a soma original. As variáveis aqui são:
é o termo geral da série e
é uma constante real. Aplicando isso ao nosso caso obtemos
Antes de sair usando essa propriedade, precisamos garantir que a série converge — senão não poderíamos manipular assim. Vou tratar disso no próximo passo.
Passo 3
Mostrando convergência: considere a família de séries chamada p-séries, que têm a forma
onde
é um número real. Um resultado padrão (que você costuma ver em cálculo ou análise) diz que a p-série converge se, e somente se,
. No nosso caso temos
, então a p-série
converge. Consequentemente, a parte da soma que vai de
ao infinito,
, também converge (é apenas a p-série com o primeiro termo removido). Como ela converge, podemos aplicar a linearidade mencionada no passo anterior sem problema. Além disso, como todos os termos são não-negativos, a convergência é absoluta, o que deixa tudo seguro para manipulações algébricas.
Passo 4
Usamos agora um resultado clássico e muito conhecido (o famoso problema de Basel, resolvido por Euler): a soma da p-série para
é
Esse é um valor padrão que se usa frequentemente — não vou aqui refazer a prova de Euler (ela exige técnicas específicas), mas é aceitável usar esse resultado em provas e exercícios. A partir daqui vemos que
pois subtraímos o termo
, que é
.
Passo 5
Voltando à série original e multiplicando por
(lembre que no Passo 2 já escrevemos a constante fora da soma), obtemos
Agora apenas simplificamos a expressão:
Para termos uma ideia numérica rápida (checagem): com
temos
, então
Essa aproximação serve só pra dar intuição de magnitude; a resposta exata é a forma com
.