\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a soma da série infinita
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}}
e pede que a gente encontre o valor dessa soma (ou seja, o somatório infinito). Informações relevantes: a série tem termo geral \frac{2}{n^{2}} iniciando em n=2. Nada mais foi pedido explicitamente além de calcular essa soma.

Passo 2

Fatoramos a constante 2 para fora da soma usando a linearidade das séries. Primeiro vou explicar o que isto significa. Se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então para qualquer constante c a série \sum_{n=1}^{\infty} c\,a_n também converge e vale c vezes a soma original. As variáveis aqui são: a_n é o termo geral da série e c é uma constante real. Aplicando isso ao nosso caso obtemos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} = 2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.
Antes de sair usando essa propriedade, precisamos garantir que a série converge — senão não poderíamos manipular assim. Vou tratar disso no próximo passo.

Passo 3

Mostrando convergência: considere a família de séries chamada p-séries, que têm a forma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}},
onde p é um número real. Um resultado padrão (que você costuma ver em cálculo ou análise) diz que a p-série converge se, e somente se, p>1. No nosso caso temos p=2, então a p-série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge. Consequentemente, a parte da soma que vai de n=2 ao infinito, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, também converge (é apenas a p-série com o primeiro termo removido). Como ela converge, podemos aplicar a linearidade mencionada no passo anterior sem problema. Além disso, como todos os termos são não-negativos, a convergência é absoluta, o que deixa tudo seguro para manipulações algébricas.

Passo 4

Usamos agora um resultado clássico e muito conhecido (o famoso problema de Basel, resolvido por Euler): a soma da p-série para p=2 é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}.
Esse é um valor padrão que se usa frequentemente — não vou aqui refazer a prova de Euler (ela exige técnicas específicas), mas é aceitável usar esse resultado em provas e exercícios. A partir daqui vemos que
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{1^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} - 1,
pois subtraímos o termo n=1, que é \frac{1}{1^{2}}=1.

Passo 5

Voltando à série original e multiplicando por 2 (lembre que no Passo 2 já escrevemos a constante fora da soma), obtemos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} = 2\left(\frac{\pi^{2}}{6} - 1\right).
Agora apenas simplificamos a expressão:
2\left(\frac{\pi^{2}}{6} - 1\right) = \frac{2\pi^{2}}{6} - 2 = \frac{\pi^{2}}{3} - 2.
Para termos uma ideia numérica rápida (checagem): com \pi \approx 3{,}14159 temos \pi^{2}\approx 9{,}8696, então
\frac{\pi^{2}}{3} - 2 \approx \frac{9{,}8696}{3} - 2 \approx 3{,}2899 - 2 \approx 1{,}2899.
Essa aproximação serve só pra dar intuição de magnitude; a resposta exata é a forma com \pi^2.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}-2

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