Passo 1
O que o enunciado nos dá: a série infinita
O que é pedido (implícito): verificar se a série converge ou diverge; se convergir, calcular a soma.
Informações relevantes: o termo geral da série é
para
.
Passo 2
Ferramenta básica e importantíssima (vamos estudá-la com carinho): se uma série numérica
converge, então necessariamente o termo geral
tende a zero quando
:
Justificativa curta e intuitiva: se
converge para
, então
é diferença entre dois limites iguais, logo tende a zero. Portanto, um teste rápido para detectar divergência é calcular
: se esse limite não for zero, a série diverge imediatamente.
Exemplo simples para fixar: a série
diverge porque o termo geral é
e não tende a zero.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste ao nosso termo geral
. Calculamos o limite quando
. Dividindo numerador e denominador por
:
Ao fazer
, os termos
vão para zero, então
Passo 4
Como
, a condição necessária para que a série convirja não é satisfeita. Pelo teste do termo geral (ou teste da divergência), concluímos que a série
diverge.
Comentário extra (para entender o comportamento): os termos não caem para zero; eles ficam próximos de
para índices grandes, então as somas parciais crescem sem limite (aproximadamente como somar muitos termos iguais a
).
Resposta
A série diverge, pois
.