\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{3 k-1}

Passo 1

O que o enunciado nos dá: a série infinita
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{3k-1}.
O que é pedido (implícito): verificar se a série converge ou diverge; se convergir, calcular a soma.
Informações relevantes: o termo geral da série é a_k=\dfrac{k-1}{3k-1} para k\ge 2.

Passo 2

Ferramenta básica e importantíssima (vamos estudá-la com carinho): se uma série numérica
\sum_{k=1}^{\infty} a_k
converge, então necessariamente o termo geral a_k tende a zero quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty} a_k = 0.
Justificativa curta e intuitiva: se S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k converge para S, então a_n=S_n-S_{n-1} é diferença entre dois limites iguais, logo tende a zero. Portanto, um teste rápido para detectar divergência é calcular \lim_{k\to\infty} a_k: se esse limite não for zero, a série diverge imediatamente.
Exemplo simples para fixar: a série \sum 1/2 diverge porque o termo geral é 1/2 e não tende a zero.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste ao nosso termo geral a_k=\dfrac{k-1}{3k-1}. Calculamos o limite quando k\to\infty. Dividindo numerador e denominador por k:
\frac{k-1}{3k-1}=\frac{1-\tfrac{1}{k}}{3-\tfrac{1}{k}}.
Ao fazer k\to\infty, os termos \tfrac{1}{k} vão para zero, então
\lim_{k\to\infty}\frac{k-1}{3k-1}=\frac{1-0}{3-0}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Como \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k=\frac{1}{3}\neq 0, a condição necessária para que a série convirja não é satisfeita. Pelo teste do termo geral (ou teste da divergência), concluímos que a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{3k-1}
diverge.
Comentário extra (para entender o comportamento): os termos não caem para zero; eles ficam próximos de 1/3 para índices grandes, então as somas parciais crescem sem limite (aproximadamente como somar muitos termos iguais a 1/3).

Resposta

A série diverge, pois \displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{k-1}{3k-1}=\frac{1}{3}\neq 0.

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