Exercício 2.15 Dada a função de transferência genérica de um filtro passa-baixas RLC de segunda ordem:
H(s)=\frac{\omega_{0}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{0} s+\omega_{0}^{2}}
Para qual valor do fator de amortecimento \zeta o filtro apresenta uma resposta maximalmente plana na banda de passagem (aproximação de Butterworth)?

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{\omega_{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{0}s+\omega_{0}^{2}}
e pede: para qual valor do fator de amortecimento \zeta o filtro apresenta resposta maximalmente plana na banda de passagem (aproximação de Butterworth).
Informações relevantes fornecidas:
  • A estrutura do filtro é de segunda ordem padrão com frequência natural \omega_{0} e fator de amortecimento \zeta.
  • “Maximalmente plana na banda de passagem” significa que a resposta em frequência tem o máximo de suavidade (planicidade) possível em \omega=0 — isto é, as derivadas iniciais da resposta em módulo devem anular-se até a maior ordem possível.

Passo 2

Vamos entender o que queremos tornar “plano” e como isso se traduz em cálculo.
  • O fator de amortecimento \zeta aparece no termo em s do denominador e controla se a resposta tem pico de ressonância ( \zeta pequeno) ou é mais amortecida ( \zeta grande).
  • Para definir “maximalmente plana” usamos a condição de Butterworth: a magnitude da resposta em frequência, |H(j\omega)|, deve ser o mais plana possível em \omega=0. Uma maneira prática de impor isso é exigir que a série de Taylor de |H(j\omega)|^2 em torno de \omega=0 não tenha termos de baixa ordem (em particular, anular o coeficiente do termo em \omega^{2}). Isso garante que o início da curva seja o mais horizontal possível (máxima planicidade).

Passo 3

Calcular |H(j\omega)|^{2}. Substituímos s=j\omega e calculamos o módulo ao quadrado passo a passo:
H(j\omega)=\frac{\omega_{0}^{2}}{-\omega^{2}+j\,2\zeta\omega_{0}\omega+\omega_{0}^{2}}.
O módulo ao quadrado é
|H(j\omega)|^{2}=\frac{\omega_{0}^{4}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2\zeta\omega_{0}\omega)^{2}}.
Para simplificar a expansão, normalizamos a frequência com k=\dfrac{\omega}{\omega_{0}}. Então
|H(j\omega)|^{2}=\frac{1}{(1-k^{2})^{2}+(2\zeta k)^{2}}.

Passo 4

Expandimos o denominador em potências de k (pequeno, perto de \omega=0):
(1-k^{2})^{2}+(2\zeta k)^{2}=1-2k^{2}+k^{4}+4\zeta^{2}k^{2}.
Agrupando os termos em k:
(1-k^{2})^{2}+(2\zeta k)^{2}=1+\bigl(-2+4\zeta^{2}\bigr)k^{2}+k^{4}.
Definimos a=-2+4\zeta^{2} para encurtar a escrita; assim o denominador é 1 + a k^{2} + k^{4}.

Passo 5

Queremos que a série de Taylor de |H(j\omega)|^{2} em k comece sem termo em k^{2} (isso garante maximal flatidade de ordem 1 para magnitude ao quadrado). Usamos a expansão em série
\frac{1}{1+\varepsilon}=1-\varepsilon+\varepsilon^{2}-\cdots,
com \varepsilon = a k^{2}+k^{4}. Aplicando até termos de ordem k^{2}:
|H(j\omega)|^{2}=\frac{1}{1+a k^{2}+k^{4}}\approx 1-(a k^{2}+k^{4})+\cdots.
O coeficiente do termo em k^{2} na expansão é -a. Para que não exista termo em k^{2} (condição de maximal flat na banda de passagem), precisamos de
-a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0.
Substituindo a=-2+4\zeta^{2} obtemos
-2+4\zeta^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4\zeta^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad \zeta^{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\zeta=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071.

Passo 6

Breve verificação/interpretacão: com \zeta=1/\sqrt{2} o polinômio normalizado no denominador em p=s/\omega_0 fica
p^{2}+2\zeta p+1 = p^{2}+\sqrt{2}\,p+1,
que é exatamente o polinômio de segunda ordem do filtro de Butterworth normalizado — confirmado.

Resposta

\displaystyle \zeta=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071

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