Exercício 2.15 Dada a função de transferência genérica de um filtro passa-baixas RLC de segunda ordem:
Para qual valor do fator de amortecimento
o filtro apresenta uma resposta maximalmente plana na banda de passagem (aproximação de Butterworth)?
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede: para qual valor do fator de amortecimento
o filtro apresenta resposta maximalmente plana na banda de passagem (aproximação de Butterworth).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A estrutura do filtro é de segunda ordem padrão com frequência natural
e fator de amortecimento . - “Maximalmente plana na banda de passagem” significa que a resposta em frequência tem o máximo de suavidade (planicidade) possível em
— isto é, as derivadas iniciais da resposta em módulo devem anular-se até a maior ordem possível.
Passo 2
Vamos entender o que queremos tornar “plano” e como isso se traduz em cálculo.
- O fator de amortecimento
aparece no termo em do denominador e controla se a resposta tem pico de ressonância ( pequeno) ou é mais amortecida ( grande). - Para definir “maximalmente plana” usamos a condição de Butterworth: a magnitude da resposta em frequência,
, deve ser o mais plana possível em . Uma maneira prática de impor isso é exigir que a série de Taylor de em torno de não tenha termos de baixa ordem (em particular, anular o coeficiente do termo em ). Isso garante que o início da curva seja o mais horizontal possível (máxima planicidade).
Passo 3
Calcular
. Substituímos
e calculamos o módulo ao quadrado passo a passo:
O módulo ao quadrado é
Para simplificar a expansão, normalizamos a frequência com
. Então
Passo 4
Expandimos o denominador em potências de
(pequeno, perto de
):
Agrupando os termos em
:
Definimos
para encurtar a escrita; assim o denominador é
.
Passo 5
Queremos que a série de Taylor de
em
comece sem termo em
(isso garante maximal flatidade de ordem 1 para magnitude ao quadrado). Usamos a expansão em série
com
. Aplicando até termos de ordem
:
O coeficiente do termo em
na expansão é
. Para que não exista termo em
(condição de maximal flat na banda de passagem), precisamos de
Substituindo
obtemos
Portanto
Passo 6
Breve verificação/interpretacão: com
o polinômio normalizado no denominador em
fica
que é exatamente o polinômio de segunda ordem do filtro de Butterworth normalizado — confirmado.