Exercício 1.17. Imagine que eu diga a frase “Todos os carros que eu possuo são Ferraris pretas.” Se eu não possuir carro, essa frase é verdadeira?

Passo 1

O enunciado nos dá a frase: “Todos os carros que eu possuo são Ferraris pretas.”
A pergunta é: se eu não possuir nenhum carro, essa frase é verdadeira?
Informações relevantes dadas:
  • A frase é uma afirmação universal sobre os elementos de um conjunto: “para todo carro que eu possuo, ele é uma Ferrari preta”.
  • Suposição do problema: o conjunto de carros que eu possuo é vazio (não possuo carro).

Passo 2

Formalizando a frase em linguagem de predicados ajuda a enxergar o que está acontecendo.
Seja S o conjunto dos carros que eu possuo. Seja P(x) a propriedade " x é uma Ferrari preta". A frase é
\forall x\in S,\; P(x).
A hipótese “não possuo carro” é S=\varnothing.

Passo 3

Uma equivalência lógica útil (e fundamental) é:
\forall x\in S,\; P(x) \quad\Leftrightarrow\quad \neg\exists x\in S,\; \neg P(x).
Isto lê-se: "todo x em S satisfaz P" é equivalente a "não existe x em S que viole P".
Se S=\varnothing, então a afirmação \exists x\in S,\; \neg P(x) é falsa (não há nenhum elemento para satisfazer a existência). Logo a negação dessa existência é verdadeira. Portanto \forall x\in\varnothing,\; P(x) é verdadeira.

Passo 4

Outra maneira, bem didática: interpretar a frase como uma implicação para cada objeto do universo:
“Para todo objeto x, se x é um carro que eu possuo, então x é uma Ferrari preta”, isto é
\forall x,\; \big(\,x\in S \;\to\; P(x)\,\big).
Lembre que uma implicação A\to B é verdadeira sempre que A é falsa. Se não há nenhum x com x\in S (porque S é vazio), não existe nenhum caso com antecedente verdadeiro que possa tornar a implicação falsa. Assim todas as implicações dessa forma são verdadeiras, e a afirmação universal é verdadeira.

Passo 5

Uma analogia muito comum: uma conjunção de muitas afirmações \bigwedge_{x\in S} P(x) equivale ao “e” de todas elas. Se não há nenhuma afirmação na conjunção (isto é, S=\varnothing), por convenção lógica essa conjunção vazia vale verdadeiro (o elemento neutro da conjunção é verdadeiro). Isso coincide com a ideia de que não existe contraexemplo.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar:
  • “Todos os unicórnios têm chifre.” Como não existem unicórnios, essa frase é verdadeira na lógica (verdade vacuamente).
  • “Todos os números naturais menores que 0 são positivos.” Não existe número natural menor que 0, logo a afirmação é verdadeira vacuamente.
    Esses exemplos mostram que, em lógica formal, afirmações universais sobre conjuntos vazios são verdadeiras, mesmo que na conversação comum pareçam estranhas ou enganadoras.

Passo 7

Observação prática (comunicativa): embora a frase seja verdadeira formalmente quando não há carros, no uso cotidiano essa construção pode passar a impressão errada (como se o falante tivesse Ferraris pretas). Para evitar mal-entendidos, em contexto natural é melhor dizer explicitamente “Eu não possuo carros” ou “Se eu tivesse carros, todos seriam Ferraris pretas”.

Resposta

Sim — a afirmação é verdadeira (verdade vacuamente).

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