Exercício 1.17. Imagine que eu diga a frase “Todos os carros que eu possuo são Ferraris pretas.” Se eu não possuir carro, essa frase é verdadeira?
Passo 1
O enunciado nos dá a frase: “Todos os carros que eu possuo são Ferraris pretas.”
A pergunta é: se eu não possuir nenhum carro, essa frase é verdadeira?
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: se eu não possuir nenhum carro, essa frase é verdadeira?
Informações relevantes dadas:
- A frase é uma afirmação universal sobre os elementos de um conjunto: “para todo carro que eu possuo, ele é uma Ferrari preta”.
- Suposição do problema: o conjunto de carros que eu possuo é vazio (não possuo carro).
Passo 2
Formalizando a frase em linguagem de predicados ajuda a enxergar o que está acontecendo.
Seja o conjunto dos carros que eu possuo. Seja
a propriedade "
é uma Ferrari preta". A frase é
Seja
A hipótese “não possuo carro” é
.
Passo 3
Uma equivalência lógica útil (e fundamental) é:
Isto lê-se: "todo
em
satisfaz
" é equivalente a "não existe
em
que viole
".
Se , então a afirmação
é falsa (não há nenhum elemento para satisfazer a existência). Logo a negação dessa existência é verdadeira. Portanto
é verdadeira.
Se
Passo 4
Outra maneira, bem didática: interpretar a frase como uma implicação para cada objeto do universo:
“Para todo objeto , se
é um carro que eu possuo, então
é uma Ferrari preta”, isto é
“Para todo objeto
Lembre que uma implicação
é verdadeira sempre que
é falsa. Se não há nenhum
com
(porque
é vazio), não existe nenhum caso com antecedente verdadeiro que possa tornar a implicação falsa. Assim todas as implicações dessa forma são verdadeiras, e a afirmação universal é verdadeira.
Passo 5
Uma analogia muito comum: uma conjunção de muitas afirmações
equivale ao “e” de todas elas. Se não há nenhuma afirmação na conjunção (isto é,
), por convenção lógica essa conjunção vazia vale verdadeiro (o elemento neutro da conjunção é verdadeiro). Isso coincide com a ideia de que não existe contraexemplo.
Passo 6
Exemplos concretos para fixar:
- “Todos os unicórnios têm chifre.” Como não existem unicórnios, essa frase é verdadeira na lógica (verdade vacuamente).
- “Todos os números naturais menores que 0 são positivos.” Não existe número natural menor que 0, logo a afirmação é verdadeira vacuamente.
Esses exemplos mostram que, em lógica formal, afirmações universais sobre conjuntos vazios são verdadeiras, mesmo que na conversação comum pareçam estranhas ou enganadoras.
Passo 7
Observação prática (comunicativa): embora a frase seja verdadeira formalmente quando não há carros, no uso cotidiano essa construção pode passar a impressão errada (como se o falante tivesse Ferraris pretas). Para evitar mal-entendidos, em contexto natural é melhor dizer explicitamente “Eu não possuo carros” ou “Se eu tivesse carros, todos seriam Ferraris pretas”.
Resposta
Sim — a afirmação é verdadeira (verdade vacuamente).