Exercício 1.15. Demonstre a segunda lei de De Morgan.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a segunda lei de De Morgan. Vou provar explicitamente a identidade a seguir (vou escrever qual das duas leis estou provando):
(A\cap B)^{c} = A^{c}\cup B^{c},
onde A e B são conjuntos qualquer e o complemento C^{c} é tomado em relação a um universo fixo U.
Informações dadas:
  • Existem dois conjuntos A e B contidos num universo U.
  • A operação \cap é interseção, \cup é união e (\cdot)^{c} é complemento relativo a U.
    O objetivo é mostrar que os dois conjuntos acima são iguais.

Passo 2

Estratégia de prova (explicada passo a passo e bem didática):
  • Para provar que dois conjuntos X e Y são iguais normalmente mostramos duas inclusões:
    1. X\subseteq Y.
    2. Y\subseteq X.
      Se ambas valem, então X=Y.
  • Vou aplicar isso com X=(A\cap B)^{c} e Y=A^{c}\cup B^{c}.
    Antes de começar, lembro as definições elementares que vamos usar:
  • Definição de complemento: \;C^{c}=\{x\in U \mid x\notin C\}.
  • Definição de interseção: \;A\cap B=\{x\in U \mid x\in A \text{ e } x\in B\}.
  • Definição de união: \;A\cup B=\{x\in U \mid x\in A \text{ ou } x\in B\}.
  • Observação lógica útil (uma regra básica de lógica): a negação de uma conjunção é uma disjunção das negações; em símbolos lógicos, \neg(P\land Q)\iff (\neg P)\lor(\neg Q).Intuição: se “não (P e Q)” é verdade, então pelo menos um entre P e Q é falso.

Passo 3

Prova da inclusão (A\cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}:
  • Pegue um elemento arbitrário x\in (A\cap B)^{c}.
  • Pela definição de complemento isso significa que x\notin A\cap B.
  • Pela definição de interseção, a afirmação x\notin A\cap B é a negação da afirmação " x\in A e x\in B". Em notação lógica: \neg\bigl(x\in A \land x\in B\bigr).
  • Usando a equivalência lógica citada no Passo 2, essa negação é equivalente a \bigl(x\notin A\bigr)\\ \text{ou}\\ \bigl(x\notin B\bigr).
  • Mas x\notin A significa x\in A^{c} e x\notin B significa x\in B^{c}. Logo temos x\in A^{c}\quad\text{ou}\quad x\in B^{c},isto é, x\in A^{c}\cup B^{c}.
  • Como x foi um elemento arbitrário de (A\cap B)^{c}, concluímos que (A\cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}.

Passo 4

Prova da inclusão A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A\cap B)^{c}:
  • Pegue um elemento arbitrário y\in A^{c}\cup B^{c}.
  • Pela definição de união, isso significa que y\in A^{c} ou y\in B^{c}.
  • Reescrevendo em termos de não-pertinência: y\notin A ou y\notin B. Em lógica: \bigl(y\notin A\bigr)\lor\bigl(y\notin B\bigr).
  • A partir daqui usamos a equivalência lógica inversa do Passo 2: se (\neg P)\lor(\neg Q) é verdadeiro então \neg(P\land Q) é verdadeiro; isto é, \neg\bigl(y\in A \land y\in B\bigr).
  • Essa última afirmação é exatamente y\notin A\cap B, isto é y\in (A\cap B)^{c}.
  • Como y foi escolhido arbitrariamente em A^{c}\cup B^{c}, temos A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A\cap B)^{c}.

Passo 5

Conclusão final (juntando as inclusões) e comentário didático:
  • Das inclusões do Passo 3 e do Passo 4 obtemos (A\cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}\quad\text{e}\quad A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A\cap B)^{c}.
  • Portanto, por dupla inclusão, (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.
  • Intuição prática: o complemento da interseção são os elementos que falham em pertencer a pelo menos um dos conjuntos; por isso pertencem ao complemento de A ou ao complemento de B.
  • Exemplo rápido para fixar (pode fazer na prova): tome U=\{1,2,3\}, A=\{1,2\}, B=\{2,3\}. Então A\cap B=\{2\},\quad (A\cap B)^{c}=\{1,3\},e A^{c}=\{3\},\quad B^{c}=\{1\},\quad A^{c}\cup B^{c}=\{1,3\},conferindo a igualdade.

Resposta

(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}

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