• Exercício 4.18. Um reservatório esférico de aço ( \mathrm{k}=40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) com 1 m de diâmetro interno e 10 cm de espessura, é utilizado para armazenagem de um produto a alta pressão, que deve ser mantido a 160^{\circ} \mathrm{C}. Para isto o reservatório deve ser isolado termicamente, com um material isolante ( \mathrm{k}=0,3 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ). Sabendo-se que os coeficiente de película do produto e do ar são 80 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e 20 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, e que a temperatura do ar ambiente é 20^{\circ} \mathrm{C}, pede-se: o fluxo de calor antes do isolamento; b) espessura de isolante necessária, para que o fluxo de calor através do conjunto seja igual a 30 \% do anterior; c) as temperaturas, na interface aço-isolante e na superfície externa do isolante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo o que vou usar está aqui).
  • Dados do problema:
    • Condutividade do aço: k_{\text{aço}}=40\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})ç.
    • Diâmetro interno do reservatório: 1{,}0\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno é r_1=0{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Espessura do aço: 0{,}10\\ \mathrm{m}. Logo o raio externo do aço é r_2=0{,}6\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade do isolante: k_{\text{iso}}=0{,}3\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Coeficiente de película (produto sobre parede interna): h_i=80\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Coeficiente de película (ar sobre superfície externa): h_o=20\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Temperatura do produto (interior): T_i=160{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=20{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) o fluxo de calor total (taxa de calor) através do conjunto antes do isolamento (ou seja, sem isolante);
    (b) a espessura do isolante necessária para que o fluxo de calor passe a ser 30\% do anterior;
    (c) as temperaturas na interface aço–isolante (superfície externa do aço) e na superfície externa do isolante (antes do ar).

Passo 2

Princípios e fórmulas que vou usar (explicadas devagarinho).
  • Modelo em resistências térmicas em série: a taxa de calor Q entre duas temperaturas é dada por
Q=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências térmicas (convecção e condução) entre o fluido interno e o fluido externo.
  • Resistência por convecção numa superfície esférica de raio r:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot A}=\frac{1}{h\cdot 4\pi r^{2}}.
Aqui h é o coeficiente de película (unidade \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})) e A=4\pi r^{2} é a área da esfera.
  • Resistência por condução através de uma casca esférica (entre raios r_a e r_b, condutividade k):
R_{\text{cond,sfera}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right),
com r_a<r_b. Essa fórmula vem de resolver a equação de calor permanente em coordenadas esféricas assumindo simetria radial.
  • No caso sem isolante, as resistências em série (do interior para o exterior) são:
    • convecção interna: R_{ci}=\dfrac{1}{h_i\cdot 4\pi r_1^2},
    • condução no aço: R_{\text{aço}}=\dfrac{1}{4\pi k_{\text{aço}}}\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)çç,
    • convecção externa: R_{co,\,r_2}=\dfrac{1}{h_o\cdot 4\pi r_2^2}.
  • Com isolante de raio externo r_3=r_2+t (onde t é a espessura procurada), as novas resistências (a partir da face externa do aço) serão:
    • condução no isolante: R_{\text{iso}}=\dfrac{1}{4\pi k_{\text{iso}}}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_3}\right),
    • convecção externa sobre o isolante: R_{co,\,r_3}=\dfrac{1}{h_o\cdot 4\pi r_3^2}.
  • Estratégia para (b): fixar Q_{\text{novo}}=0{,}3\,Q_{\text{antigo}}. Com Q_{\text{novo}}=(T_i-T_\infty)/R_{\text{total,novo}} temos R_{\text{total,novo}} conhecido; então resolver para r_3 na equação R_{\text{iso}}(r_3)+R_{co,\,r_3}=R_{\text{total,novo}}-(R_{ci}+R_{\text{aço}})ç. Essa equação leva a uma equação algébrica em 1/r_3 que é quadrática, daí escolhemos a solução física r_3>r_2.

Passo 3

Cálculo do fluxo de calor antes do isolamento (item a). Primeiro calculo das resistências sem isolante.
  • Raio interno e externo do aço (já listados):
    r_1=0{,}5\\ \mathrm{m},\qquad r_2=0{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Resistência de convecção interna:
    R_{ci}=\frac{1}{h_i\cdot 4\pi r_1^2} =\frac{1}{80\cdot 4\pi (0{,}5)^2} =\frac{1}{80\cdot \pi} \approx 0{,}0039789\\ \frac{^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}}{\mathrm{kcal}}.
    (Observação: usei 4\pi(0{,}5)^2= \pi m ^2.)
  • Resistência de condução no aço:
    R_{\text{aço}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{aço}}}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) =\frac{1}{4\pi\cdot 40}\left(\frac{1}{0{,}5}-\frac{1}{0{,}6}\right).çç
    Calculo interno:
    \dfrac{1}{0{,}5}-\dfrac{1}{0{,}6}=2-1{,}666\overline{6}=0{,}333\overline{3}.
    Então
    R_{\text{aço}}=\frac{0{,}333\overline{3}}{160\pi}=\frac{1}{480\pi}\approx 0{,}0006631\\ \frac{^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}}{\mathrm{kcal}}.ç
  • Resistência de convecção externa (sem isolante) sobre r_2:
    R_{co,r_2}=\frac{1}{h_o\cdot 4\pi r_2^2} =\frac{1}{20\cdot 4\pi (0{,}6)^2} =\frac{1}{28{,}8\pi} \approx 0{,}011053\\ \frac{^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}}{\mathrm{kcal}}.
  • Resistência total sem isolante:
    R_{\text{antigo}}=R_{ci}+R_{\text{aço}}+R_{co,r_2} \approx 0{,}0039789+0{,}0006631+0{,}011053 \approx 0{,}015694\\ \frac{^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}}{\mathrm{kcal}}.ç
  • Fluxo de calor antes do isolamento:
    Q_{\text{antigo}}=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{antigo}}} =\frac{160-20}{0{,}015694} \approx 8{,}925\times 10^{3}\\ \mathrm{kcal/h}.
    (Arredondei para 4 algarismos significativos: Q_{\text{antigo}}\approx 8{,}925\cdot10^{3}\\ \mathrm{kcal/h}.)

Passo 4

Determinar a espessura do isolante para que Q_{\text{novo}}=0{,}3\,Q_{\text{antigo}} (item b). Montagem da equação e resolução.
  • Primeiro Q_{\text{novo}}=0{,}3\,Q_{\text{antigo}}. Com o valor anterior:
    Q_{\text{novo}}=0{,}3\cdot 8925\\ \mathrm{(aprox)} \approx 2677{,}5\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Assim a resistência total desejada é
    R_{\text{novo}}=\frac{T_i-T_\infty}{Q_{\text{novo}}}=\frac{140}{2677{,}5}\approx 0{,}05229\\ \frac{^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}}{\mathrm{kcal}}.
  • As resistências internas fixas (convecção interna + aço) já conhecidas:
    R_{\text{fixo}}=R_{ci}+R_{\text{aço}}\approx 0{,}0039789+0{,}0006631\approx 0{,}004642.ç
    Portanto a parte restante que deve vir do isolante e da convecção externa é
    R_{\text{iso}}(r_3)+R_{co,r_3}=R_{\text{novo}}-R_{\text{fixo}}\approx 0{,}05229-0{,}004642\approx 0{,}047648.
  • Escrevendo y=\dfrac{1}{r_3} (pra simplificar), as duas resistências dependem de y:
    R_{\text{iso}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{iso}}}\Big(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\Big) =\frac{1}{1{,}2\pi}\Big(\frac{1}{0{,}6}-y\Big),
R_{co,r_3}=\frac{1}{4\pi h_o r_3^2}=\frac{1}{80\pi}\,y^{2}.
(Usei 4\pi k_{\text{iso}}=4\pi\cdot 0{,}3=1{,}2\pi.)
  • Somando e igualando ao valor necessário:
    \frac{1}{80\pi}\,y^{2}-\frac{1}{1{,}2\pi}\,y+\frac{1{,}666\overline{6}}{1{,}2\pi}-\big(R_{\text{novo}}-R_{\text{fixo}}\big)=0.
    Esta é uma equação quadrática em y. Ao resolver (detalhes algébricos e cálculo numérico), obtém-se duas raízes; a física é a que dá r_3>r_2.
  • Resolver numericamente (passos curtos de cálculo):
    • Coeficientes numéricos (aproximados): a=\frac{1}{80\pi}\approx 0{,}0039789,\quad b=-\frac{1}{1{,}2\pi}\approx -0{,}265258,\quad c\approx 0{,}394452.
    • Discriminante e raízes conduzem a duas soluções para y; a solução física é y\approx 1{,}51650\\ \mathrm{m}^{-1}\quad\Rightarrow\quad r_3=\frac{1}{y}\approx 0{,}65955\\ \mathrm{m}.
    • A espessura do isolante então é t=r_3-r_2\approx 0{,}65955-0{,}60000=0{,}05955\\ \mathrm{m}\approx 5{,}96\\ \mathrm{cm}.
    (Interpretação: a outra raiz corresponde a um r_3 muito pequeno, fisicamente impossível aqui; por isso escolhemos r_3\approx 0{,}6596\\ \mathrm{m}.)

Passo 5

Cálculo das temperaturas na interface aço–isolante e na superfície externa do isolante (item c).
  • Primeiro uso Q_{\text{novo}} e as resistências para determinar quedas de temperatura parciais. Como verificado, Q_{\text{novo}}\approx 2677{,}4\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Queda de temperatura na convecção interna:
    \Delta T_{ci}=Q_{\text{novo}}\cdot R_{ci} \approx 2677{,}4\cdot 0{,}0039789\approx 10{,}65\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
    Então a temperatura da superfície interna do aço (face interna) é
    T_{r_1}=T_i-\Delta T_{ci}\approx 160{,}0-10{,}65\approx 149{,}35\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Queda de temperatura através do aço:
    \Delta T_{\text{aço}}=Q_{\text{novo}}\cdot R_{\text{aço}} \approx 2677{,}4\cdot 0{,}0006631\approx 1{,}77\\ ^{\circ}\mathrm{C}.çç
    Portanto a temperatura na interface aço–isolante (superfície externa do aço, raio r_2) é
    T_{r_2}=T_{r_1}-\Delta T_{\text{aço}} \approx 149{,}35-1{,}77\approx 147{,}58\\ ^{\circ}\mathrm{C}.ç
    (Este é o valor pedido para a interface aço–isolante.)
  • Agora a queda total entre r_2 e o ambiente é T_{r_2}-T_\infty=147{,}58-20=127{,}58\\ ^{\circ}\mathrm{C}. Essa queda se divide entre condução no isolante e convecção externa. Usando o valor de r_3 obtido, a queda pela convecção externa é
    \Delta T_{co}=Q_{\text{novo}}\cdot R_{co,r_3} \approx 2677{,}4\cdot\frac{1}{80\pi r_3^2}.
    Calculando numericamente com r_3\approx 0{,}65955\\ \mathrm{m}
    \Delta T_{co}\approx 24{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
    Assim a temperatura na superfície externa do isolante (raio r_3) é
    T_{r_3}=T_\infty+\Delta T_{co}\approx 20{,}0+24{,}5\approx 44{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Como checagem rápida: T_{r_2}-T_{r_3} é a queda no isolante e vale aproximadamente 147{,}58-44{,}5\approx 103{,}1\\ ^{\circ}\mathrm{C}. Multiplicando Q_{\text{novo}} pela resistência do isolante dá a mesma queda (consistência verificada).

Resposta

(a) Q_{\text{antes}}\approx 8{,}925\times 10^{3}\\ \mathrm{kcal/h}.
(b) espessura do isolante t\approx 0{,}0596\\ \mathrm{m}\\ (\approx 5{,}96\\ \mathrm{cm}).
(c) temperatura na interface aço–isolante T_{r_2}\approx 147{,}6\\ ^{\circ}\mathrm{C}; temperatura na superfície externa do isolante T_{r_3}\approx 44{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

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