- Exercício 4.18. Um reservatório esférico de aço (
) com 1 m de diâmetro interno e 10 cm de espessura, é utilizado para armazenagem de um produto a alta pressão, que deve ser mantido a
. Para isto o reservatório deve ser isolado termicamente, com um material isolante (
). Sabendo-se que os coeficiente de película do produto e do ar são
e
, respectivamente, e que a temperatura do ar ambiente é
, pede-se: o fluxo de calor antes do isolamento; b) espessura de isolante necessária, para que o fluxo de calor através do conjunto seja igual a
do anterior; c) as temperaturas, na interface aço-isolante e na superfície externa do isolante.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo o que vou usar está aqui).
-
Dados do problema:
- Condutividade do aço:
. - Diâmetro interno do reservatório:
. Logo o raio interno é . - Espessura do aço:
. Logo o raio externo do aço é . - Condutividade do isolante:
. - Coeficiente de película (produto sobre parede interna):
. - Coeficiente de película (ar sobre superfície externa):
. - Temperatura do produto (interior):
. - Temperatura do ar ambiente:
.
- Condutividade do aço:
-
O que o enunciado pede:
(a) o fluxo de calor total (taxa de calor) através do conjunto antes do isolamento (ou seja, sem isolante);
(b) a espessura do isolante necessária para que o fluxo de calor passe a serdo anterior;
(c) as temperaturas na interface aço–isolante (superfície externa do aço) e na superfície externa do isolante (antes do ar).
Passo 2
Princípios e fórmulas que vou usar (explicadas devagarinho).
- Modelo em resistências térmicas em série: a taxa de calor
entre duas temperaturas é dada por
onde
é a soma das resistências térmicas (convecção e condução) entre o fluido interno e o fluido externo.
- Resistência por convecção numa superfície esférica de raio
:
Aqui
é o coeficiente de película (unidade
) e
é a área da esfera.
- Resistência por condução através de uma casca esférica (entre raios
e , condutividade ):
com
. Essa fórmula vem de resolver a equação de calor permanente em coordenadas esféricas assumindo simetria radial.
-
No caso sem isolante, as resistências em série (do interior para o exterior) são:
- convecção interna:
, - condução no aço:
, - convecção externa:
.
- convecção interna:
-
Com isolante de raio externo
(onde é a espessura procurada), as novas resistências (a partir da face externa do aço) serão: - condução no isolante:
, - convecção externa sobre o isolante:
.
- condução no isolante:
-
Estratégia para (b): fixar
. Com temos conhecido; então resolver para na equação . Essa equação leva a uma equação algébrica em que é quadrática, daí escolhemos a solução física .
Passo 3
Cálculo do fluxo de calor antes do isolamento (item a). Primeiro calculo das resistências sem isolante.
-
Raio interno e externo do aço (já listados):
-
Resistência de convecção interna:(Observação: usei
m .) -
Resistência de condução no aço:Calculo interno:
.
Então -
Resistência de convecção externa (sem isolante) sobre
: -
Resistência total sem isolante:
-
Fluxo de calor antes do isolamento:(Arredondei para 4 algarismos significativos:
.)
Passo 4
Determinar a espessura do isolante para que
(item b). Montagem da equação e resolução.
-
Primeiro
. Com o valor anterior: -
Assim a resistência total desejada é
-
As resistências internas fixas (convecção interna + aço) já conhecidas:Portanto a parte restante que deve vir do isolante e da convecção externa é
-
Escrevendo
(pra simplificar), as duas resistências dependem de :
(Usei
.)
-
Somando e igualando ao valor necessário:Esta é uma equação quadrática em
. Ao resolver (detalhes algébricos e cálculo numérico), obtém-se duas raízes; a física é a que dá . -
Resolver numericamente (passos curtos de cálculo):
- Coeficientes numéricos (aproximados):
- Discriminante e raízes conduzem a duas soluções para
; a solução física é - A espessura do isolante então é
(Interpretação: a outra raiz corresponde a ummuito pequeno, fisicamente impossível aqui; por isso escolhemos .) - Coeficientes numéricos (aproximados):
Passo 5
Cálculo das temperaturas na interface aço–isolante e na superfície externa do isolante (item c).
-
Primeiro uso
e as resistências para determinar quedas de temperatura parciais. Como verificado, . -
Queda de temperatura na convecção interna:Então a temperatura da superfície interna do aço (face interna) é
-
Queda de temperatura através do aço:Portanto a temperatura na interface aço–isolante (superfície externa do aço, raio
) é (Este é o valor pedido para a interface aço–isolante.) -
Agora a queda total entre
e o ambiente é . Essa queda se divide entre condução no isolante e convecção externa. Usando o valor de obtido, a queda pela convecção externa é Calculando numericamente comdá Assim a temperatura na superfície externa do isolante (raio) é -
Como checagem rápida:
é a queda no isolante e vale aproximadamente . Multiplicando pela resistência do isolante dá a mesma queda (consistência verificada).
Resposta
(a)
(b) espessura do isolante
(c) temperatura na interface aço–isolante ; temperatura na superfície externa do isolante
(b) espessura do isolante
(c) temperatura na interface aço–isolante