Exercício 17. Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal são nulos. Isto pode-se escrever como a_{i j}=0 se i \neq j. A matriz identidade e todos os múltiplos dela são matrizes diagonales. O produto de matrizes diagonales também é diagonal. Verifique isso para matrizes diagonais de ordem 2 e 3 .
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o produto de duas matrizes diagonais é também uma matriz diagonal, especificamente para matrizes de ordem 2 e de ordem 3. Informações dadas e o que vamos usar (tirado do enunciado):
Definição: uma matriz é diagonal se todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero; isto é, a_{ij}=0 sempre que i\neq j.
A matriz identidade e e quaisquer múltiplos escalares de e são exemplos de matrizes diagonais.
A tarefa: verificar explicitamente, calculando o produto, que o produto de duas matrizes diagonais de ordem 2 é diagonal e que o produto de duas matrizes diagonais de ordem 3 é diagonal.
Passo 2
Antes de multiplicar, lembrando a regra de multiplicação de matrizes: se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então a entrada (i,j) do produto AB é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
Isto significa: para obter o elemento na linha i e coluna j de AB, faz-se o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B. Vou aplicar isso às matrizes diagonais, lembrando que em matrizes diagonais todos os a_{ik} com i\neq k (e todos os b_{kj} com k\neq j) valem zero.
Passo 3
Caso 2×2 — escrever duas matrizes diagonais gerais de ordem 2:
que é claramente diagonal: as entradas fora da diagonal principal são zero. Observação didática: cada entrada diagonal de AB é o produto das entradas diagonais correspondentes de A e B.]
Passo 4
Caso 3×3 — escrever as matrizes diagonais gerais de ordem 3:
Primeiro, para i\neq j (entradas fora da diagonal principal), cada soma envolve termos do tipo a_{ik}b_{kj}. Como A e B são diagonais, a_{ik}=0 sempre que i\neq k e b_{kj}=0 sempre que k\neq j. Para um par fixo i\neq j, em cada k\in\{1,2,3\} pelo menos um dos fatores a_{ik} ou b_{kj} será zero, portanto cada termo da soma é zero e a soma inteira é zero. Formalmente, para i\neq j:
Passo de incentivo rápido: percebeu? A multiplicação fica super simples porque linhas e colunas “não-diagonais” têm zeros, então quase tudo some — fica só o produto das entradas da diagonal. Isso é útil na prova: quando reconhecer duas matrizes diagonais, em vez de multiplicar termo a termo, já conclua que o produto é diagonal e escreva os produtos das entradas diagonais.]