Exercício 17. Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal são nulos. Isto pode-se escrever como a_{i j}=0 se i \neq j. A matriz identidade e todos os múltiplos dela são matrizes diagonales. O produto de matrizes diagonales também é diagonal. Verifique isso para matrizes diagonais de ordem 2 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o produto de duas matrizes diagonais é também uma matriz diagonal, especificamente para matrizes de ordem 2 e de ordem 3. Informações dadas e o que vamos usar (tirado do enunciado):
  • Definição: uma matriz é diagonal se todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero; isto é, a_{ij}=0 sempre que i\neq j.
  • A matriz identidade e e quaisquer múltiplos escalares de e são exemplos de matrizes diagonais.
  • A tarefa: verificar explicitamente, calculando o produto, que o produto de duas matrizes diagonais de ordem 2 é diagonal e que o produto de duas matrizes diagonais de ordem 3 é diagonal.

Passo 2

Antes de multiplicar, lembrando a regra de multiplicação de matrizes: se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então a entrada (i,j) do produto AB é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
Isto significa: para obter o elemento na linha i e coluna j de AB, faz-se o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B. Vou aplicar isso às matrizes diagonais, lembrando que em matrizes diagonais todos os a_{ik} com i\neq k (e todos os b_{kj} com k\neq j) valem zero.

Passo 3

Caso 2×2 — escrever duas matrizes diagonais gerais de ordem 2:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0\\[4pt] 0 & a_{22} \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & 0\\[4pt] 0 & b_{22} \end{pmatrix}.
Agora calculamos todas as entradas de AB usando a fórmula (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} a_{ik}b_{kj}.
  • Entrada (1,1):
(AB)_{11}=a_{11}b_{11}+ \underbrace{0\cdot 0}_{=0}=a_{11}b_{11}.
  • Entrada (1,2):
(AB)_{12}=a_{11}\cdot 0 + 0\cdot b_{22}=0+0=0.
  • Entrada (2,1):
(AB)_{21}=0\cdot b_{11} + a_{22}\cdot 0=0+0=0.
  • Entrada (2,2):
(AB)_{22}=0\cdot 0 + a_{22}b_{22}=a_{22}b_{22}.
Juntando, obtemos
AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & 0\\[4pt] 0 & a_{22}b_{22} \end{pmatrix},
que é claramente diagonal: as entradas fora da diagonal principal são zero. Observação didática: cada entrada diagonal de AB é o produto das entradas diagonais correspondentes de A e B.]

Passo 4

Caso 3×3 — escrever as matrizes diagonais gerais de ordem 3:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0\\[4pt] 0 & a_{22} & 0\\[4pt] 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & 0 & 0\\[4pt] 0 & b_{22} & 0\\[4pt] 0 & 0 & b_{33} \end{pmatrix}.
Usamos novamente (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}b_{kj}.
Primeiro, para i\neq j (entradas fora da diagonal principal), cada soma envolve termos do tipo a_{ik}b_{kj}. Como A e B são diagonais, a_{ik}=0 sempre que i\neq k e b_{kj}=0 sempre que k\neq j. Para um par fixo i\neq j, em cada k\in\{1,2,3\} pelo menos um dos fatores a_{ik} ou b_{kj} será zero, portanto cada termo da soma é zero e a soma inteira é zero. Formalmente, para i\neq j:
(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}=0+0+0=0.
Agora, para as entradas diagonais i=j:
  • (AB)_{11}=a_{11}b_{11}+0+0=a_{11}b_{11}.
  • (AB)_{22}=0+a_{22}b_{22}+0=a_{22}b_{22}.
  • (AB)_{33}=0+0+a_{33}b_{33}=a_{33}b_{33}.
Logo
AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & 0 & 0\\[4pt] 0 & a_{22}b_{22} & 0\\[4pt] 0 & 0 & a_{33}b_{33} \end{pmatrix},
ou seja, o produto é diagonal e as entradas da diagonal são os produtos das entradas diagonais correspondentes.]

Passo 5

Exemplos numéricos (pra deixar mais concreto):
  • Exemplo 2×2: tome
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 7\end{pmatrix}.
Então
AB=\begin{pmatrix}2\cdot 3 & 0\\[4pt]0 & 5\cdot 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & 35\end{pmatrix},
diagonal como esperado.
  • Exemplo 3×3: tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 4 & 0\\[4pt]0 & 0 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0\\[4pt]0 & -1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Então
AB=\begin{pmatrix}1\cdot 5 & 0 & 0\\[4pt]0 & 4\cdot(-1) & 0\\[4pt]0 & 0 & (-2)\cdot 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & 0 & 0\\[4pt]0 & -4 & 0\\[4pt]0 & 0 & -6\end{pmatrix},
novamente diagonal.
Passo de incentivo rápido: percebeu? A multiplicação fica super simples porque linhas e colunas “não-diagonais” têm zeros, então quase tudo some — fica só o produto das entradas da diagonal. Isso é útil na prova: quando reconhecer duas matrizes diagonais, em vez de multiplicar termo a termo, já conclua que o produto é diagonal e escreva os produtos das entradas diagonais.]

Resposta

AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & 0\\[4pt] 0 & a_{22}b_{22} \end{pmatrix}
AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & 0 & 0\\[4pt] 0 & a_{22}b_{22} & 0\\[4pt] 0 & 0 & a_{33}b_{33} \end{pmatrix}

Exercícios relacionados