Exercício 2. Achar todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} para que a matriz
A_{\lambda}=\left[\begin{array}{ccc} (4-\lambda) & -10 & -6 \\\\ 0 & (3-\lambda) & 0 \\\\ 0 & -3 & -\lambda \end{array}\right]
seja invertível.

Passo 1

O enunciado dá a família de matrizes A_{\lambda} e pede: encontrar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} para os quais A_{\lambda} é invertível. A matriz fornecida é
A_{\lambda}=\begin{bmatrix} (4-\lambda) & -10 & -6 \\\\ 0 & (3-\lambda) & 0 \\\\ 0 & -3 & -\lambda \end{bmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os elementos da matriz dependem de \lambda nas posições (1,1),(2,2) e (3,3).
  • Há duas entradas zero na primeira coluna abaixo da diagonal principal, o que facilita o cálculo do determinante por expansão nessa coluna.

Passo 2

Critério usado (explicação didática): uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Em outras palavras, A_{\lambda} é invertível se, e somente se,
\det(A_{\lambda})\neq 0.
Breve lembrete sobre determinante 2×2 (usado depois): para uma matriz 2\times2 \begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix}, o determinante é ad-bc. Isso é útil porque ao expandir um determinante 3\times3 surge um determinante 2\times2.

Passo 3

Vamos calcular \det(A_{\lambda}). Como a primeira coluna tem zeros nas linhas 2 e 3, é natural expandir por essa coluna. A regra de Laplace diz que
\det(A_{\lambda})=(4-\lambda)\cdot C_{11} + 0\cdot C_{21} + 0\cdot C_{31},
onde C_{11} é o cofator correspondente ao elemento (1,1). Como as outras duas entradas da coluna são zero, só resta o primeiro termo. O cofator C_{11} é ( -1)^{1+1} vezes o determinante do menor 2\times2 que resta ao eliminar a linha 1 e coluna 1. Logo
\det(A_{\lambda})=(4-\lambda)\cdot\det\begin{bmatrix}3-\lambda & 0\\\\ -3 & -\lambda\end{bmatrix}.

Passo 4

Calcule o determinante do menor 2\times2 usando a fórmula ad-bc. Aqui a=3-\lambda, b=0, c=-3, d=-\lambda. Então
\det\begin{bmatrix}3-\lambda & 0\\\\ -3 & -\lambda\end{bmatrix}=(3-\lambda)(- \lambda)-0\cdot(-3)=-(3-\lambda)\lambda.

Passo 5

Substituindo no produto do Passo 3 obtemos
\det(A_{\lambda})=(4-\lambda)\cdot\bigl(-(3-\lambda)\lambda\bigr) = -\lambda(4-\lambda)(3-\lambda).
É conveniente escrever o polinômio em fatores que mostram as raízes explicitamente. Observando que (3-\lambda)=-(\lambda-3) e (4-\lambda)=-(\lambda-4), a expressão acima é equivalente a
\det(A_{\lambda})=-\lambda(\lambda-3)(\lambda-4).
(O sinal global não importa para as raízes: o importante são os fatores que anulam o determinante.)

Passo 6

Conclusão sobre invertibilidade: \det(A_{\lambda})\neq 0 exatamente quando nenhum dos fatores é zero. Portanto o determinante é zero se, e somente se, \lambda=0, \lambda=3 ou \lambda=4. Assim A_{\lambda} é invertível para todos os \lambda\in\mathbb{R} exceto esses três valores.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{0,3,4\}

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