O enunciado dá a família de matrizes A_{\lambda} e pede: encontrar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} para os quais A_{\lambda} é invertível. A matriz fornecida é
Os elementos da matriz dependem de \lambda nas posições (1,1),(2,2) e (3,3).
Há duas entradas zero na primeira coluna abaixo da diagonal principal, o que facilita o cálculo do determinante por expansão nessa coluna.
Passo 2
Critério usado (explicação didática): uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Em outras palavras, A_{\lambda} é invertível se, e somente se,
\det(A_{\lambda})\neq 0.
Breve lembrete sobre determinante 2×2 (usado depois): para uma matriz 2\times2\begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix}, o determinante é ad-bc. Isso é útil porque ao expandir um determinante 3\times3 surge um determinante 2\times2.
Passo 3
Vamos calcular \det(A_{\lambda}). Como a primeira coluna tem zeros nas linhas 2 e 3, é natural expandir por essa coluna. A regra de Laplace diz que
onde C_{11} é o cofator correspondente ao elemento (1,1). Como as outras duas entradas da coluna são zero, só resta o primeiro termo. O cofator C_{11} é ( -1)^{1+1} vezes o determinante do menor 2\times2 que resta ao eliminar a linha 1 e coluna 1. Logo
É conveniente escrever o polinômio em fatores que mostram as raízes explicitamente. Observando que (3-\lambda)=-(\lambda-3) e (4-\lambda)=-(\lambda-4), a expressão acima é equivalente a
\det(A_{\lambda})=-\lambda(\lambda-3)(\lambda-4).
(O sinal global não importa para as raízes: o importante são os fatores que anulam o determinante.)
Passo 6
Conclusão sobre invertibilidade: \det(A_{\lambda})\neq 0 exatamente quando nenhum dos fatores é zero. Portanto o determinante é zero se, e somente se, \lambda=0, \lambda=3 ou \lambda=4. Assim A_{\lambda} é invertível para todos os \lambda\in\mathbb{R} exceto esses três valores.