Exercício 20. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \theta \sim \operatorname{Uniforme}(0, \theta), i=1,2, \ldots, n.
(a) Mostre que a família conjugada a essa Uniforme corresponde à família de distribuições Pareto, com parâmetros a e b, e densidade
p(\theta)=\frac{a b^{a}}{\theta^{1+a}} \mathbb{1}_{(b,+\infty)}(\theta), \quad a, b>0 ;𝟙
(b) Determine a moda, média e mediana da distribuição a posteriori de \theta.

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},X_{2},\dots,X_{n} são i.i.d. Uniforme (0,\theta). Queremos mostrar em (a) que, se adotamos como priori para \theta a família Pareto de parâmetros a,b>0, com densidade
p(\theta)=\frac{a\,b^{a}}{\theta^{a+1}}\;\mathbb{1}_{(\,b,\infty)}(\theta),𝟙
então a posteriori \theta\mid X também é Pareto (conjugação). Em (b) vamos extrair dessa posterior sua moda, média e mediana. Para isso precisamos usar a verossimilhança de \theta e aplicar o Teorema de Bayes, reconhecendo em seguida o kernel de Pareto.

Passo 2

A função verossimilhança de \theta dado X_{1}=x_{1},\dots,X_{n}=x_{n} é
L(\theta\mid x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\theta}\,\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x_{i}) =\theta^{-n}\,\mathbb{1}_{(\,\max_{i}x_{i},\,\infty)}(\theta).𝟙𝟙
Chamando x_{(n)}=\max_{1\le i\le n}x_{i}, temos
L(\theta\mid x)\propto \theta^{-n}\;\mathbb{1}_{(\,x_{(n)},\infty)}(\theta).𝟙

Passo 3

A priori escolhemos
p(\theta)=\frac{a\,b^{a}}{\theta^{a+1}}\;\mathbb{1}_{(\,b,\infty)}(\theta),𝟙
que é a densidade de uma Pareto com parâmetro de forma a e escala b.

Passo 4

Pela regra de Bayes a densidade a posteriori é, até constante de normalização,
p(\theta\mid x)\;\propto\;L(\theta\mid x)\,p(\theta) \;\propto\;\theta^{-n}\,\mathbb{1}_{(\,x_{(n)},\infty)}(\theta)\;\times\; \theta^{-(a+1)}\,\mathbb{1}_{(\,b,\infty)}(\theta).𝟙𝟙
Juntando os indicadores, \theta deve superar \max(b,x_{(n)}), e o expoente de \theta fica -(n+a+1). Logo
p(\theta\mid x)\;\propto\;\theta^{-(\,a+n+1)}\; \mathbb{1}_{(\,\max(b,x_{(n)}),\infty)}(\theta).𝟙
Isto é exatamente o kernel de uma Pareto de parâmetros
a'=a+n, \quad b'=\max\bigl(b,x_{(n)}\bigr).

Passo 5

Concluímos que a priori Pareto (a,b) é conjugada à Uniforme (0,\theta) e que
\theta\mid x\sim \text{Pareto}\bigl(a'=a+n,\;b'=\max(b,x_{(n)})\bigr).

Passo 6

Para \Theta\sim\text{Pareto}(a',b')\) são conhecidas as estatísticas: \[\text{moda}(\Theta)=b',
\text{média}(\Theta)= \begin{cases} \dfrac{a'\,b'}{a'-1},&a'>1,\\\ \infty,&a'\le1, \end{cases}é
\text{mediana}(\Theta)= b'\,2^{1/a'}.
No nosso caso a'=a+n>1\] (pois \(n\ge1 e a>0), então a média é finita.

Resposta

modo: \displaystyle b'=\max\bigl(b,x_{(n)}\bigr)
média: \displaystyle \frac{(a+n)\,\max(b,x_{(n)})}{\,a+n-1\,}
mediana: \displaystyle \max(b,x_{(n)})\;2^{1/(a+n)}

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