Exercício 16. Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de
.
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
- A função está definida por
. (Aqui estou escrevendo em TeX para o seno.) - Deve-se encontrar
e . - Atenção ao domínio: a expressão só faz sentido onde
(não podemos dividir por zero). Vou calcular as derivadas em pontos onde a função está bem definida.
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (com explicações simples):
- Derivada parcial: para calcular
trata-se como constante e diferencia-se em relação a . Analogamente, para trata-se como constante. - Regra do produto (valendo também para funções com duas variáveis): se
, então
Isso significa: derive a primeira função (mantendo a segunda sem mudar) e some com a primeira função vezes a derivada da segunda.
- Regra da cadeia (para composições): se
, então . Em duas variáveis, para ,
- Derivadas básicas de funções trigonométricas:
onde
e
.
- Para
temos
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Reescrevo
como produto de duas funções mais simples:
Defino, para facilitar:
Vou calcular as derivadas parciais de
e
separadamente.
Passo 4
Derivo
em relação a
e a
:
- Mantendo
fixo, (porque a derivada de em relação a é , e é constante nessa diferenciação). - Mantendo
fixo, (derivada de é , multiplicada por que é constante aqui).
Portanto:
Passo 5
Agora derivo
com
, usando regra da cadeia:
- Primeiro a derivada de
em relação ao argumento é . - Então, aplicando a cadeia,
De forma análoga,
Resumindo:
Passo 6
Agora aplico a regra do produto para obter
:
Substituindo os valores calculados:
Agrupando e fatorando
e
:
Passo 7
Agora para
uso a mesma ideia:
Substituindo:
Fatorando
:
Passo 8
Opcional — formas alternativas (só para intuição): usando
e
pode-se reescrever as derivadas com potências de
no denominador, por exemplo
mas as formas com
e
ficam mais compactas e exibem claramente a aplicação das regras.