Exercício 16. Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x \operatorname{sen} y}{\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{x\operatorname{sen} y}{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função está definida por f(x,y)=\dfrac{x\sin y}{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}. (Aqui estou escrevendo \sin em TeX para o seno.)
  • Deve-se encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Atenção ao domínio: a expressão só faz sentido onde \cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\neq 0 (não podemos dividir por zero). Vou calcular as derivadas em pontos onde a função está bem definida.

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (com explicações simples):
  • Derivada parcial: para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} trata-se y como constante e diferencia-se em relação a x. Analogamente, para \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se x como constante.
  • Regra do produto (valendo também para funções com duas variáveis): se f=uv, então
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Isso significa: derive a primeira função (mantendo a segunda sem mudar) e some com a primeira função vezes a derivada da segunda.
  • Regra da cadeia (para composições): se v(t)=h(g(t)), então v'(t)=h'(g(t))\cdot g'(t). Em duas variáveis, para v(x,y)=h\bigl(g(x,y)\bigr),
\frac{\partial v}{\partial x}=h'\bigl(g(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
  • Derivadas básicas de funções trigonométricas:
\frac{d}{dt}\sin t=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t,\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\operatorname{sec} t\cdot\tan t,
onde \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t} e \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}.
  • Para g(x,y)=x^{2}+y^{2} temos
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Reescrevo f como produto de duas funções mais simples:
f(x,y)=\bigl(x\sin y\bigr)\cdot\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Defino, para facilitar:
u(x,y)=x\sin y,\qquad v(x,y)=\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Vou calcular as derivadas parciais de u e v separadamente.

Passo 4

Derivo u em relação a x e a y:
  • Mantendo y fixo, \dfrac{\partial u}{\partial x}=\sin y (porque a derivada de x em relação a x é 1, e \sin y é constante nessa diferenciação).
  • Mantendo x fixo, \dfrac{\partial u}{\partial y}=x\cos y (derivada de \sin y é \cos y, multiplicada por x que é constante aqui).
Portanto:
\frac{\partial u}{\partial x}=\sin y,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=x\cos y.

Passo 5

Agora derivo v(x,y)=\operatorname{sec}\bigl(g(x,y)\bigr) com g(x,y)=x^{2}+y^{2}, usando regra da cadeia:
  • Primeiro a derivada de \operatorname{sec} em relação ao argumento é \operatorname{sec}(\cdot)\tan(\cdot).
  • Então, aplicando a cadeia,
\frac{\partial v}{\partial x}=\operatorname{sec}\bigl(g\bigr)\tan\bigl(g\bigr)\cdot\frac{\partial g}{\partial x} = \operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2x.
De forma análoga,
\frac{\partial v}{\partial y}=\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2y.
Resumindo:
\frac{\partial v}{\partial x}=2x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
\frac{\partial v}{\partial y}=2y\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 6

Agora aplico a regra do produto para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo os valores calculados:
\frac{\partial f}{\partial x} = \sin y\cdot\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + \bigl(x\sin y\bigr)\cdot\bigl(2x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr).
Agrupando e fatorando \sin y e \operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr):
\frac{\partial f}{\partial x} = \sin y\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\left(1+2x^{2}\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\right).

Passo 7

Agora para \dfrac{\partial f}{\partial y} uso a mesma ideia:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y} = \bigl(x\cos y\bigr)\cdot\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + \bigl(x\sin y\bigr)\cdot\bigl(2y\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr).
Fatorando x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr):
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\left(\cos y + 2y\sin y\;\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\right).

Passo 8

Opcional — formas alternativas (só para intuição): usando \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t} e \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} pode-se reescrever as derivadas com potências de \cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) no denominador, por exemplo
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\sin y}{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)} + \frac{2x^{2}\sin y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{\cos^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)},
mas as formas com \operatorname{sec} e \tan ficam mais compactas e exibem claramente a aplicação das regras.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\sin y\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigl(1+2x^{2}\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigl(\cos y+2y\sin y\,\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr)

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