Exercício 17 Seja X uma variável aleatória tal que a \leq X \leq b. Mostre que
\operatorname{Var}(X) \leq \frac{(b-a)^{2}}{4}
Dica: Primeiro considere uma variável Y tal que 0 \leq Y \leq 1 e mostre que \operatorname{Var}(Y) \leq 1 / 4.

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X satisfaz
a \leq X \leq b
quase certamente, e pede para mostrar a desigualdade
\operatorname{Var}(X) \leq \frac{(b-a)^{2}}{4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os limites a e b são constantes reais com a\le b.
  • A variável X está confinada no intervalo [a,b].
    O objetivo é obter uma cota superior para a variância de X. No próximo passo vamos transformar X numa variável no intervalo [0,1] e usar uma desigualdade mais simples para concluir.

Passo 2

Definir uma variável escalada que leva o intervalo [a,b] para [0,1]. Seja
Y=\frac{X-a}{b-a}.
Primeiro, verificar a faixa de Y. Como a\le X\le b, temos
0 \le \frac{X-a}{b-a} \le 1,
ou seja,
0 \le Y \le 1.
Agora relacionar as variâncias de X e Y. Vou usar duas propriedades básicas de esperança e variância (vou explicá-las brevemente):
  • Linearidade da esperança: para constantes c e d e variável Z, vale \displaystyle E[cZ+d]=c\,E[Z]+d.
  • Transformação de variância por escala e translação: para constante c e d, \displaystyle \operatorname{Var}(cZ+d)=c^{2}\operatorname{Var}(Z). Isso decorre da definição \operatorname{Var}(W)=E[W^{2}]-E[W]^{2}; ao computar E[(cZ+d)^{2}] e E[cZ+d]^{2} os termos com d cancelam deixando c^{2}(E[Z^{2}]-E[Z]^{2}).
Aplicando essa propriedade com X=(b-a)Y+a (ou seja, c=b-a e d=a), obtemos
\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}\big((b-a)Y+a\big)=(b-a)^{2}\operatorname{Var}(Y).
Portanto basta mostrar a desigualdade
\operatorname{Var}(Y)\le \frac{1}{4},
pois daí segue
\operatorname{Var}(X)=(b-a)^{2}\operatorname{Var}(Y)\le (b-a)^{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{(b-a)^{2}}{4}.

Passo 3

Agora vou provar que, para qualquer variável aleatória Y com 0\le Y\le 1, vale
\operatorname{Var}(Y)\le \frac{1}{4}.
Começo lembrando a definição de variância e introduzindo uma notação curta: seja m=E[Y]. Então
\operatorname{Var}(Y)=E\big[(Y-E[Y])^{2}\big]=E[Y^{2}]-\big(E[Y]\big)^{2}=E[Y^{2}]-m^{2}.
Como 0\le Y\le 1 ponto a ponto, temos Y^{2}\le Y. Tomando esperanças obtém-se
E[Y^{2}]\le E[Y]=m.
Substituindo na fórmula da variância:
\operatorname{Var}(Y)=E[Y^{2}]-m^{2}\le m-m^{2}=m(1-m).
Agora é só observar que a função f(m)=m(1-m) para m\in[0,1] atinge seu máximo em m=\tfrac{1}{2}. Isso pode ser visto completando o quadrado:
m(1-m)=\frac{1}{4}-\left(m-\frac{1}{2}\right)^{2}\le\frac{1}{4}.
Logo
\operatorname{Var}(Y)\le m(1-m)\le \frac{1}{4}.
(Isto dá a cota desejada para \operatorname{Var}(Y).)

Passo 4

Juntando o que foi obtido nos passos anteriores:
  • Pelo Passo 2, \displaystyle \operatorname{Var}(X)=(b-a)^{2}\operatorname{Var}(Y).
  • Pelo Passo 3, \displaystyle \operatorname{Var}(Y)\le \tfrac{1}{4}.
Portanto
\operatorname{Var}(X)\le (b-a)^{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{(b-a)^{2}}{4},
que é exatamente o que se pedia.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Var}(X)\le \frac{(b-a)^{2}}{4}

Exercícios relacionados