Exercício 17 Seja
uma variável aleatória tal que
. Mostre que
Dica: Primeiro considere uma variável
tal que
e mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
satisfaz
quase certamente, e pede para mostrar a desigualdade
Informações relevantes fornecidas:
- Os limites
e são constantes reais com . - A variável
está confinada no intervalo .
O objetivo é obter uma cota superior para a variância de. No próximo passo vamos transformar numa variável no intervalo e usar uma desigualdade mais simples para concluir.
Passo 2
Definir uma variável escalada que leva o intervalo
para
. Seja
Primeiro, verificar a faixa de
. Como
, temos
ou seja,
Agora relacionar as variâncias de
e
. Vou usar duas propriedades básicas de esperança e variância (vou explicá-las brevemente):
- Linearidade da esperança: para constantes
e e variável , vale . - Transformação de variância por escala e translação: para constante
e , . Isso decorre da definição ; ao computar e os termos com cancelam deixando .
Aplicando essa propriedade com
(ou seja,
e
), obtemos
Portanto basta mostrar a desigualdade
pois daí segue
Passo 3
Agora vou provar que, para qualquer variável aleatória
com
, vale
Começo lembrando a definição de variância e introduzindo uma notação curta: seja
. Então
Como
ponto a ponto, temos
. Tomando esperanças obtém-se
Substituindo na fórmula da variância:
Agora é só observar que a função
para
atinge seu máximo em
. Isso pode ser visto completando o quadrado:
Logo
(Isto dá a cota desejada para
.)
Passo 4
Juntando o que foi obtido nos passos anteriores:
- Pelo Passo 2,
. - Pelo Passo 3,
.
Portanto
que é exatamente o que se pedia.