Exercício 18 Seja
uma variável aleatória com função de probabilidades dada por
em que
é uma função densidade de probabilidade de uma variável
tal que
e
. Determine
e
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidades de
:
e informa que
é densidade de uma variável
com
O que o problema pede:
- Determinar
. - Determinar
.
Lista das informações relevantes que temos:
- A densidade
é pdf de (logo ). - A expressão de
envolve . - Valores conhecidos de
: e .
Passo 2
Interpretação útil (explicação didática): observe que
é exatamente a probabilidade de uma distribuição de Poisson com parâmetro
avaliada em
. Assim podemos reescrever
Isto significa que, condicional a
, a variável
tem distribuição de Poisson de parâmetro
. Em notação condicional:
Propriedades fundamentais da Poisson (que vamos usar):
Também vamos usar duas fórmulas gerais (leis da probabilidade condicionada):
- Lei da esperança total:
- Lei da variância total:
Passo 3
Cálculo de
pelo somatório (desenvolvimento passo a passo e justificação):
Começamos pela definição
Começamos pela definição
Substituindo
pela expressão dada:
Troca soma e integral (justificação): todos os termos são não-negativos, logo pela monotone convergence / Fubini pode-se trocar soma e integral:
Agora avaliaremos a soma interna. Note que para
Assim
Multiplicando por
dá
. Portanto a expressão interna simplifica para
, e voltando à integral:
Mas
é justamente
, que nos foi dado igual a
. Concluímos que
Passo 4
Cálculo de
via momento de segunda ordem (passos detalhados):
Primeiro calculemos , porque para muitas distribuições discreta
.
Temos
Primeiro calculemos
Temos
Novamente troca soma e integral (termos não-negativos):
Avalia a soma interna. Para
,
Então
Multiplicando por
obtém-se
. Logo
Agora
Portanto a variância de
é
Reorganizando usando
e
, obtemos
Passo 5
Observação alternativa (intuitiva e muito útil para a prova): pelas propriedades condicionais já mencionadas, como
temos
e
. Aplicando diretamente a lei da variância total:
o que coincide com o resultado do passo anterior. Essa abordagem costuma ser a mais curta na prova: reconhecer a mistura Poisson e usar as leis totais.
Passo 6
Resumo e incentivo rápido: a conta mostra que misturar Poisson com um parâmetro aleatório
faz com que a média de
seja a média de
e que a variância de
seja a soma da variância de
com a média de
:
e
. Dá para decorar essa identidade para misturas Poisson — é um resultado prático e aparece bastante em provas. Força aí — você já consegue replicar isso em qualquer exercício parecido!