Exercício 19 De um conjunto com
elementos, um subconjunto não vazio é selecionado ao acaso. Seja
o número de elementos contidos no conjunto selecionado. Determine uma expressão para a função de probabilidades de
, para o valor médio e a variância de
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Temos um conjunto com
elementos. - Seleciona-se ao acaso (uniformemente) um subconjunto não vazio desse conjunto.
- Define-se
como o número de elementos do subconjunto selecionado.
O que é pedido:
- A função de probabilidades de
, isto é para . - O valor médio
. - A variância
. - Mostrar que
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
- O número total de subconjuntos de um conjunto com
elementos é ; excluindo o conjunto vazio, o espaço amostral tem subconjuntos. - O número de subconjuntos que têm exatamente
elementos é .
Passo 2
Determinar a função de probabilidades
.
Razão: a escolha é uniforme entre todos os subconjuntos não vazios. O número de subconjuntos não vazios é
. Entre eles, exatamente
têm tamanho
. Logo, para
,
Isto fornece a função de probabilidade completa de
.
Passo 3
Calcular
.
Usaremos a identidade clássica
e a identidade para a soma com peso
Explicação (curta) da segunda identidade: deriva-se da diferenciação da soma binomial. Escrever
. Diferenciando ambos os lados e avaliando em
obtém-se
. (Também existe uma interpretação combinatória: contar pares composto por um elemento marcado e um subconjunto que contém esse elemento.)
Como
não contempla o caso
, mas a soma para
difere só pelo termo
que vale zero, podemos usar diretamente a soma acima. Assim
Passo 4
Calcular
(passo intermediário para a variância).
Usamos a decomposição
. Portanto
As duas somas conhecidas são:
onde a segunda identidade também pode ser obtida por derivação duas vezes de
e avaliando em
, ou por contagem dupla (escolher uma dupla ordenada de dois elementos distintos e depois completar arbitrariamente os demais elementos do subconjunto).
Somando,
Como o termo
é zero, para
vale a mesma soma para
. Assim
Podemos simplificar um pouco o numerador fatorando
:
Passo 5
Calcular
e apresentar forma compacta.
Pela definição,
Substituindo as expressões obtidas:
Colocando em denominador comum
e simplificando (feito passo a passo):
Agrupando termos e fatorando
obtém-se a forma mais compacta
Essa expressão é equivalente à anterior e é conveniente para estudar limites.
Passo 6
Mostrar os limites pedidos.
Primeiro limite para a média normalizada:
Como
quando
, temos
Mais formalmente, dividindo numerador e denominador por
dá limite
.
Agora o segundo limite para a variância normalizada. Começamos de
Dividindo numerador e denominador por
(ou observando que
e
) obtemos
Argumento intuitivo: o termo dominante no numerador é
e no denominador é
, a razão tende a
; os termos com fatores polinomiais em
ficam insignificantes frente a
.
Concluímos assim os dois limites solicitados.