cm termos da função degrau unitário u_{c}(t). (0.7 pontos)
b) Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial:
(a) escrever g(t)\) em termos da função degrau unitário \(u_{c}(t)\) (ou seja, \(u_a(t)\) que vale \(0\) para \(t<a\) e \(1\) para \(t\ge a\));
- (b) resolver o problema de valor inicial
\[\begin{cases} y''+4y=g(t),\\[4pt] y(0)=0,\; y'(0)=0, \end{cases}
utilizando transformada de Laplace.
Informações relevantes que temos:
A definição de g(t)\] em três ramos mostrada acima.
- As condições iniciais \(y(0)=0 e y'(0)=0.
- A pista sobre decomposições racionais para ajudar na inversa da Laplace:
(a) Vamos construir g(t) com degraus. Lembre o comportamento do degrau: u_a(t)=0 se t<a e u_a(t)=1 se t\ge a.
Queremos uma expressão g(t) tal que:
para t<\tfrac{1}{2}: g(t)=0,
para \tfrac{1}{2}\le t<1: g(t)=1,
para t\ge1: g(t)=t.
Uma forma direta é somar um degrau que “liga” no instante t=\tfrac{1}{2} e, a partir de t=1, substituir o valor constante por uma função t. Pense assim: a função que vale 1 para t\ge\tfrac{1}{2} é u_{1/2}(t). Para que, quando t\ge1, o valor passe de 1 para t, basta acrescentar a partir de t=1 a função (t-1) (que é zero antes de 1 e cresce depois). Logo
g(t)=u_{1/2}(t)+(t-1)\,u_{1}(t).
Verificação rápida (casos):
t<\tfrac{1}{2}: u_{1/2}=0, u_1=0 então g=0.
\tfrac{1}{2}\le t<1: u_{1/2}=1, u_1=0 então g=1.
t\ge1: u_{1/2}=1, u_1=1 então g=1+(t-1)=t.
Portanto a expressão em termos do degrau unitário está correta.
Passo 3
Antes de aplicar Laplace, resumo rápido (comecinho de aula curta) das fórmulas que vamos usar:
A transformada de Laplace de y(t) é Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt.
Derivadas: \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
Teorema do deslocamento no tempo (para degrau): se f(t) tem \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{u_a(t)f(t-a)\}=e^{-as}F(s). Em particular, \mathcal{L}\{u_a(t)\}=e^{-as}/s e \mathcal{L}\{(t-a)u_a(t)\}=e^{-as}/s^{2}.
Essas fórmulas são as ferramentas principais.
Passo 4
Aplicando transformada de Laplace na equação \;y''+4y=g(t)\; e usando y(0)=0,\;y'(0)=0: