Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2 E((X-E(X))(X-E(X)))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para duas variáveis aleatórias e (tanto em distribuições contínuas quanto discretas), vale a identidade
Vamos usar a definição de variância e a linearidade da esperança para chegar lá.

Passo 2

Lembrando que, por definição,
para qualquer variável aleatória , e que
para constantes e variáveis .

Passo 3

Aplicando a definição ao caso , temos
Usando a expansão e a linearidade da esperança,
enquanto
Subtraindo essas expressões,

Passo 4

Reconhecemos que
e que
Portanto,

Resposta

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