Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para duas variáveis aleatórias
e
(tanto em distribuições contínuas quanto discretas), vale a identidade
Vamos usar a definição de variância e a linearidade da esperança para chegar lá.
Passo 2
Lembrando que, por definição,
para qualquer variável aleatória
, e que
para constantes
e variáveis
.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
, temos
Usando a expansão
e a linearidade da esperança,
enquanto
Subtraindo essas expressões,
Passo 4
Reconhecemos que
e que
Portanto,